NO.10389757

0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

401 名前：元塾講師：2006/01/28 00:21

補足の解説：
具体的に座標軸を設定して、Rを表示しても良いでしょう。但し、結局Rの動きを解釈する場合、
パラメータtについて整理することになる（（☆）の部分）ので、本解と同じような変形や
説明になるので別解というほどのものではない。いずれにせよ、くれぐれもaは定数ということ
を見失わないようにし、パラメータについて整理するという姿勢で式変形をして下さい。

402 名前：名無しさん：2006/01/28 15:17

お疲れです

403 名前：名無しさん：2006/02/01 16:11

才オォ(*･ω･*)ォオ才
ミルクにこんなすごいところがあったとは。
ここが一番優れたスレなのでは･･･？
今プリントアウトしてノートに理解しながら書いていってます(*´д`*)
元塾講師さん本当にお疲れ様です＜(*_ _)＞

404 名前：まぃ：2006/02/03 12:00

教えてください！！このもんだい(´□｀人)

7%の食塩水は密度が1.05g/ml。この食塩水120mlは何gか

405 名前：元塾講師：2006/02/03 12:11

>>404
「この食塩水」というのが同じ「7%の食塩水」のことを指すのであれば、
この食塩水は1 ml 当たり1.05 g なので、120 mlではこの120倍の126 g
ではないでしょうか。（比例関係といいます）

406 名前：元塾講師：2006/02/03 12:12

問46：
同一平面上に2つの三角形△ABC、三角形△A'B'C'があり、それぞれの外接円の半径は
共に1であるとする。この2つの外接円の中心を結ぶ線分の中点をM , 線分AA' , BB'
, CC'の中点をそれぞれP , Q , Rとする。
（1）MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1 となることを示せ。
（2）もし△PQRが鋭角三角形でその外接円の半径が1となるならば、点Mはこの外接円の
中心と一致することを示せ。さらにこのとき△ABC ,　△A'B'C' , △PQRはすべて合同
となることを示せ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1986　京大）

407 名前：元塾講師：2006/02/03 12:13

Introductｉon：　
条件や量の表現において、ベクトルを導入して表現していくのが綺麗である。
幾何的考察もポイントになるので平面図形の融合問題といえ、京大らしい論証問題である。
いろいろな観点からの別解が作れそうな問題であるという印象。

408 名前：元塾講師：2006/02/03 12:16

解答：
（1）△ABC　, △A'B'C' の外接円の中心をX, X 'とおく。各点の位置ベクトルを小文字で表すと、
ベクMP = p - m = (1/2)・(a + a ') - (1/2)・(x + x ') = (1/2)・(ベクXA + ベクX'A')
∴│ベクMP│= (1/2)・│ベクXA + ベクX'A'│≦(1/2)・｛│ベクXA│ + │ベクX'A'│｝= 1
〔∵三角不等式より。等号はベクXAとベクX'A'が同方向のとき、本問の場合は長さも等しいことから
ベクXA = ベクX'A'　のとき。〕　同様に
│ベクMQ│= (1/2)・│ベクXB + ベクX'B'│≦(1/2)・｛│ベクXB│ + │ベクX'B'│｝= 1 ,
│ベクMR│= (1/2)・│ベクXC + ベクX'C'│≦(1/2)・｛│ベクXC│ + │ベクX'C'│｝= 1
示された。

409 名前：元塾講師：2006/02/03 12:18

(2)△PQRの外接円の中心をOとおくと題意より、OP = OQ = OR = 1…? 。Mについては
（1）より MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1　…?
ここで、ベクMP = ベクOP - ベクOM より、辺々を2乗して?を用いて、
│ベクMP│＾2= 1 + │ベクOM│＾2 - 2 ベクOP ・ ベクOMよって?より
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOP ・ ベクOM …? 全く同様に
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOQ ・ ベクOM …?
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOR ・ ベクOM …?　である。
ここで三角形PQRは鋭角三角形であるから、Oは三角形の内部にあり実数α,βを用いて、
ベクPO = α・ベクPQ + β・ベクPR　 （α＞0 ,β＞0 , α+β＜１） と書ける。
これをOを始点に書き換えて
- ベクOP =α・(ベクOQ - ベクOP) + β・(ベクOR - ベクOP)
∴(1 -α-β) ・ベクOP + α・ベクOQ + β・ベクOR = 零ベクトル
γ= 1 -α-βとおけば、γ・ベクOP + α・ベクOQ + β・ベクOR = 零ベクトル ,α＞0 ,β＞0 ,γ＞0
よって?×γ+ ?×α + ?×β　として、右辺にこれを用いると
（α+β+γ）│ベクOM│＾2≦0　　∴│ベクOM│=　0 　∴M = O (前半証明終わり)

410 名前：元塾講師：2006/02/03 12:19

このとき、MP = MQ = MR = 1であるから（１）の等号が成立するので、
ベクXA = ベクX'A'　であり、このときベクMP = (1/2)・(ベクXA + ベクX'A') = ベクXA
よってベクXA = ベクX'A' = ベクMP …?　　これと同様に
ベクXB = ベクX'B' = ベクMQ　…?　, ベクXC = ベクX'C' = ベクMR　…?
? - ?　, ? - ?　を各辺において行うと、
ベクAB = ベクA'B' = ベクPQ 　, ベクAC = ベクA'C' = ベクPR
∴ △ABC ≡ △A'B'C' ≡ △PQR (2辺挟角相当)　　　　（後半証明終わり）

411 名前：元塾講師：2006/02/03 12:20

別解：
（1）は同じ。
（2）△PQRの外接円の中心をOとおくと題意より、OP = OQ = OR = 1…? 。Mについては（1）より MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1　…?
ここで、ベクMP = ベクOP - ベクOM より、辺々を2乗して?を用いて、
│ベクMP│＾2= 1 + │ベクOM│＾2 - 2 ベクOP ・ ベクOMよって?より
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOP ・ ベクOM …? 全く同様に
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOQ ・ ベクOM …?
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOR ・ ベクOM …?　である。
ここでM≠Oとするならば、ベクOMは零ベクトルではなく
ベクOP ・ ベクOM ＞0 , ベクOQ ・ ベクOM ＞0 , ベクOR ・ ベクOM ＞0
ここでOを通り、線分OMに垂直な直線をLとおくと、これは3点P , Q , R が
Lに関しMと同じ側にあることを意味するので、Oは△PQRの外部になる。
このとき円弧PQ , QR , RP のいずれかの中心角が180°を越えるから、その円周角である
∠P , ∠Q , ∠R　のいづれかは90°を越え、△PQRが鋭角三角形であることに反し矛盾。
よってM≠Oとして矛盾が導かれたので、M = O 　　（前半証明終わり）

412 名前：元塾講師：2006/02/03 12:22

このとき、MP = MQ = MR = 1であるから（１）の等号が成立するので、
ベクXA = ベクX'A'　であり、このときベクMP = (1/2)・(ベクXA + ベクX'A') = ベクXA
よってベクXA = ベクX'A' = ベクMP …?　　これと同様に
ベクXB = ベクX'B' = ベクMQ　…?　, ベクXC = ベクX'C' = ベクMR　…?
これらはXをX'そしてMにまで平行にずらすことで、3点 A , B , C が 3点 A' , B' , C'そして
3点 P , Q , Rに一致することを示すので、△A'B'C' , △PQRは△ABCをベクトルXX' ,
ベクトルXM　だけそれぞれ平行移動したものであるから、△ABC ≡ △A'B'C' ≡ △PQR
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（後半証明終わり）

413 名前：元塾講師：2006/02/03 12:23

解説：
（1）位置ベクトルとは平面上でも空間上でもいいが、ある一点を決めてそこを絶対的な(固定的な)
基準点として、各点を終点とするベクトルということ。この位置ベクトルと各点の位置は1対1に
対応する。対称性を保つ為という目的で、あえて問題にない基準点を始点にして表示する
位置ベクトルを用いて、ベクトル計算する仕方に注目しておいて下さい。
本問で問題は（２）の前半部でどのような論証をするかです。解説代わりに私の頭の中を書いて
みました。実際の解答を作っていくに当たってはこれらの一連の吟味を踏まえた上で決めています。
参考になればよいですが。

414 名前：元塾講師：2006/02/03 12:26

解説：（２）の前半部分
「直接Mが外心Oに一致することを証明するよりO≠Mとして矛盾を導くという方向で考える
ほうが、式の扱いの指針が立てやすいんとちゃうか。条件のいくつかを使って
他の条件との間に矛盾が出てこないか考えてみよか。MがO以外の点としたんやったら（O≠Mの
時）、OP=OQ=OR=1のもとで考えた場合、MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1というのが矛盾することは
図を書けばなんとなく分かるような気もするな。つまりMをO以外のどこにとってもMPかMQかMR
のどれかは1より大きくなりそうやで、なるほどこのすべてを1以下には出来ないようやな。
MをP,Qに近づけると当然MP≦1 , MQ≦1は満たされるが、Rからは離れてしまい、MR＞1になり
そうやんか。
そのぎりぎり境目、P,Q,Rの各点から半径1の円を描いてみよか。OP=OQ=OR=1やからOで共有点
を持つんやな、その3円ともの内部又は周に居ようと思うのなら（MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1を
満たすためにはということ）、MはOの位置以外ありえなくなるな。これで矛盾がでたと。
あっ、背理法の形で論証知る必要ないやないか。結局PQR各点を中心として半径１の円を描い
てその交点がOになるっていう図を添えておけば、MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1⇔Mは3円の内部又
は周上にある⇔M=O　ということでいいやん。これで背理法でなく直接的に論証できてるな。
そうそう△PQRが鋭角三角形だから外心Oは三角形の内部になることを述べておかんと、書い
た図が特殊な場合のみについてしか議論していないやンけと突っ込みが入るやろうから、
1つの代表的な絵でこの問題に対しては一般性を失わない議論ができていることはいっとかん
とな。これで完璧。

415 名前：まぃ：2006/02/03 12:27

では7%だからかける0.07とかはやらなくていいのですか？？教えてください。すいませんこんなこともわからなくて、、、

416 名前：元塾講師：2006/02/03 12:28

さて、別解考えよか…。図は説明がめんどうやし式だけでやりたいしね。たったこれだけの
（抽象的な）条件式を整理していくにはベクトルが便利やな。
OP=OQ=OR=1を使うことにして、すべてOを始点に整理してみるか…?、?、?（解答中の）
が出たけど∠POMまで持ち出してもう少し考えてみよかな。式変形すると、cos∠POMはある
正の数以上になるということやから、∠POMは90°以下。他の∠QOM　、∠ROM　も同じ。
これはさっきの図よりおかしそうやな。
MをO以外の位置に決めてしまうと∠POMが90°以下というのはPの位置はOを通りOMに垂直な
直線を境にM側の方の領域内にあるということか、これがQ、Rについても同じなんだったら、
そらおかしいわな。Oが△PQRの外に出よるもんな。でもまた、図書かなあかんな…。
(別解として上で解答を作成してますので参考にして下さい。)

417 名前：元塾講師：2006/02/03 12:30

ところでOが△PQR内にある条件ってベクトルで言えば何やったかいな。（OP、OQ,ORの条件
でも調べて?～?に更に突き合わして考えてみよかな）
この状態の一番基本的な表現は
ベクPO = α・ベクPQ + β・ベクPR　（α＞0かつβ＞0かつα+β＜１)
これをOを始点に直したら出てくるな。
ところでこのα , βって、三角形PQRの値（辺の長さや内角）を使ったらどうあらわせるんやろ。
外心Oの満たすべき条件はOから辺AC、辺ABに下ろした垂線の足が辺の中点になることやから、
ベクCO・ベクCA= （b＾2）/2　、　ベクCO・ベクCB =（a＾2）/2　と同値やな、
ここからベクCOを2ベクトルCA,　 ベクCBで表せるよな。
（ベクCO　= x・ベクCA　+ y・ベクCBとおいて上式を計算整理しx,yを求めれば良い。）

418 名前：元塾講師：2006/02/03 12:34

でも、今回OA,OB,OCの関係を求めるんやから、ベクOC　= x・ベクOA　+ y・ベクOB　　…?
としてx y を求める方が直接的やがな。│ベクOC│ = │ベクOA│=│ベクOB│= r (外接円
の半径)は使えるとして、あとなんか条件あるかな。そうか、角A、B、Cとかは決まっている
ものとして考えるんだから、さっきみたいに内積の条件
ベクOC・ベクOA = r・r・(cos 2B)　　[弧ACに対する中心角∠AOCは円周角∠Bの2倍なので]　
と、ベクOC・ベクOB　= r・r・(cos 2A)からx, y を決めよか。?をこの2式に代入したら　
　x + y(cos 2C) = cos 2B　…? , x (cos 2C)+ y = cos 2A　…?　になるから
? - ?×(cos 2C)　でyを消去して、(sｉn 2C)＾2 ・x = cos 2B - cos 2A cos 2C
ここでcos 2B　= cos ｛360°-（2A + 2C）｝= cos (2A + 2C) = cos 2Acos 2C - sｉn 2A sｉn 2C
を代入したらx = - (sｉn 2A) / (sｉn 2C)　ということは　y = - (sｉn 2B) / (sｉn 2C) か。
? に代入したら　（sｉn 2A）・ベクOA + （sｉn 2B）・ベクOB + （sｉn 2C）・ベクOC = 零ベクトル　
この結果は綺麗やな、これは三角形ABCと外心Oについていつも成り立つのか。
三角形ABCが鋭角三角形やったら、x ＜0 , y ＜ 0やから確かにCはベクトルOA,
ベクトルOBと逆方向に延長してできる領域（Oを起点とし- ベクOA　, - ベクOB で作られる
領域）にあるということやから、△ABCはOを含んでいるし、この結果は正しそーやな。
ほな、解答書こか…。」
（本解はこの考え方のもと、必要な部分をシンプルにして答案にしています。）

419 名前：元塾講師：2006/02/03 12:35

補足：
（sｉn 2A）・ベクOA + （sｉn 2B）・ベクOB + （sｉn 2C）・ベクOC = 零ベクトル
が成り立つことを先に述べたが、これを証明するだけなら次のようにするのが普通である。
左辺をベクｖとおくと、
ベクｖ・ベクOA
=　（sｉn 2A）│ベクOA│＾2 + （sｉn 2B）・(ベクOB・ベクOA) + （sｉn 2C）・（ベクOC・ベクOA)　= （sｉn 2A）・r＾2 + （sｉn 2B）・r＾2 (cos 2C) + （sｉn 2C）・r＾2 (cos 2B)
= （sｉn 2A）・r＾2 + sｉn (2B + 2C) ・r＾2
= （sｉn 2A）・r＾2 - (sｉn 2A) ・r＾2 〔∵2B + 2C = 2π - 2A〕
= 0
全く同様に、
ベクｖ・ベクOB
= （sｉn 2B）│ベクOB│＾2 + （sｉn 2A）・(ベクOA・ベクOB) + （sｉn 2C）・（ベクOC・ベクOB)
= （sｉn 2B）・r＾2 + （sｉn 2A）・r＾2 (cos 2C) + （sｉn 2C）・r＾2 (cos 2A)
= （sｉn 2B）・r＾2 + sｉn (2A + 2C) ・r＾2
= 0
ここで、一次独立な2ベクトル、ベクOA、OBに垂直な（内積が0になる）ベクトルは零ベクトルしかないので、ベクｖ　= 零ベクトル。

このように証明するのが通常である。
│ベクｖ│を2乗することで計算して、0になることを示しても構わない。

420 名前：元塾講師：2006/02/03 12:37

要は、あるベクトル（平面ベクトル）が零ベクトルで証明するには
「一次独立な２ベクトルとそのベクトルの内積が0である」ことを示すか、「そのベクトルの大きさ
を計算して0であることを示す」のいずれかが便利であることは知っておくと良いだろう。

421 名前：元塾講師：2006/02/03 12:42

解説2：
平面ベクトルはこの問題で終わりにします。この分野で伝えておきたいのは、ベクトルの大きな
特徴は始点を自由に変えられるという点である。ベクトルの式変形に慣れた人であれば、自由自在
にいろんな始点（=視点）から図形状態を解析していけるのでありこれは大きな特徴ではないだろ
うか。また、抽象的な問題では特に、その式表現のシンプルさは魅力的である。ベクトルを勉強
することにより、単純なxy直交絶対座標形から解き放たれた自由な視点を得たことを実感して欲
しい。

では続けて空間図形の重要問題（教訓がある問題、応用性のある問題、
その分野の本質の理解に役立つ問題ということ）を2題提供します。（後日）

422 名前：元塾講師：2006/02/03 12:56

そうそう
>>415さん
そこが「引っ掛け」ということではないでしょうか？
将来、悪い大人達に騙されないよう、しっかり日本語と論理的思考力の勉強をしていって
下さい。
なお、このスレを読めば基礎的な数学と基礎的な科学、哲学の考え方が学べます。
ただ最低限の知識がないと誤解してしまうことが出てくるかも知れませんので
まずは教科書に一通り目を通してから（微積分まで）、私が紹介した問題に取り組んで下さいね。
とりあえず今の課題から、1つづつ頑張れ！　応援しております。

423 名前：まぃ：2006/02/03 14:16

ありがとございます！！私はまたこのスレにきます(>∀<)感謝します！！

424 名前：まい：2006/02/04 11:52

またまた質問なんですが

炭酸水素カルシウムの化学式

をおしえてくださぃ！おねがいします(*- -)(*_ _)

425 名前：名無しさん：2006/02/04 15:59

>>424
スレ考えろ、馬鹿。
しかもそんなのググればすぐわかる、阿呆。

426 名前：まぃ：2006/02/04 23:52

炭酸水素ナトリウムはかけるけどカルシウムは２価だからこまるんです。。。じゃぁどんなですか！

427 名前：名無しさん：2006/02/05 00:17

>>426
Ca(HCO3)2

428 名前：まぃ：2006/02/05 03:56

ﾎﾝﾄにﾎﾝﾄにありがとうございます(人*′∀`)

429 名前：名無しさん：2006/02/05 07:37

だからスレ考えろって、馬鹿。
ググれってのがわからないのか、きちがい。

430 名前：名無しさん：2006/02/09 10:20

まぃさん、ここは難関大の数学を攻略するスレなので書き込みをするのであれば
そこのところ考えて書き込んでください。
リアルでもネットでも空気の読めない人は嫌われますよ。

431 名前：元塾講師：2006/02/09 11:22

…ま。原点に戻って、楽しく数学を解きましょう。
Let's enjoy mathematｉcs　!

そして知を愛しましょう。
何より生と、この世に生きていることを　深く深く愛しましょう。

432 名前：元塾講師：2006/02/09 11:24

質問は歓迎です。（きっと他の人が回答してくれることでしょう。）
私も見に止まるものであれば、時間的余裕に応じて返事を致します。
でも、自分で十分考えた上でするようにして下さい。
尚、とりあえずは高校数学に関する以外の質問は受け付けられませんので悪しからず。

「高く登ろうと思うのなら、自分の足を使うことだ。高いところへは、他人によって運ばれては
ならない。ひとの背中や頭に乗ってはならない。
あなたは馬で登ったというのか？急いで目標につくのは、これにかぎるというのか？
よかろう、わたしの友人よ。だが、あなたのしなびた脚も、一緒に馬に乗っていく。
目標について、馬から飛び降りる時、ほかならぬあなたの山頂で…あなたはころぶだろう！」　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Friedrich Nietzsche）

433 名前：元塾講師：2006/02/09 11:26

問47：
空間内の点の集合｛( x , y , z )│0≦y , 0≦z ｝に含まれ、原点Oにおいてx軸に接し、xy平面
と45°の傾きをなす、半径1の円板Cがある。座標が( 0 , 0 , 2√2)の位置にある点光源Pにより、
xy平面上に投ぜられた円板Cの影をSとする。
?）Sの輪郭を表すxy平面上の曲線の方程式を求めよ。
?）円板Cと影Sの間にはさまれ、光の届かない部分のつくる立体の体積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1984　東大）

434 名前：元塾講師：2006/02/09 11:27

Introduction： 順像法か　それとも　逆像法か　。


・逆像法による写像の捉え方 = Q→Rという写像においてQを存在させるようなRの（必要十
分）条件を求める。　（→解答１）

・順像法による写像の捉え方= Q→Rという写像においてQをパラメータ表示して、それにつ
れて決まるRを求めた上で、Rの軌跡を考える。 (→解答2)

435 名前：元塾講師：2006/02/09 11:31

解答１：
（1）求めるSの輪郭上の点をR( X , Y , 0 )　とおくと、これと点Pを結ぶ直線の方程式は
L：　( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 2√2) + t ( X , Y , - 2√2 ) 〔t はパラメータ〕　であり、これと
円板Cの境界は共有点をもつ。Lと（円板Cを含む）平面z = y との交点は2√2 - 2t√2 = t Y のとき、
即ちt = 2√2 /( Y + 2√2) 〔t が存在する為にはY ≠ -2√2が必要で、この下で考える。〕に対応する点で、
（2X√2 /( Y + 2√2) , 2Y√2 /( Y + 2√2) , 2Y√2 /( Y + 2√2)） 。これが円板Cの周上に
あるから、円板の中心( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 )　との距離が1で、
｛2X√2 /( Y + 2√2)｝2 + 2｛2Y√2 /( Y + 2√2) - 1 /√2｝＾2 = 1
∴X＾2 + (Y - √2)＾2 = 2　　〔この時、必然的にY ≠ -2√2が満たされる〕
よって点R( X , Y , 0 )は、円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2上にあればよく、これが求めるSの輪郭
を表す方程式である。
　　　（答）　円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2

436 名前：元塾講師：2006/02/09 11:32

（2）Pを頂点とし、Sを底面とする円錐の体積は2π×2√2×( 1/3) = 4√2π/3
　　Pを頂点とし、Cを底面とする円錐は底面積π , 高さ│2√2│/√2= 2　〔これは点Pと
　　平面z = y との距離〕であるから体積は2π/3　。
　　求める立体の体積はこの2つの差であり、2π( 2√2 - 1)/ 3　　…（答）

437 名前：元塾講師：2006/02/09 11:36

解答2：
（1）円C（円板Cの周をなす円）は点( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 )　を中心とし、ベクトル( 1 , 0 , 0)と
( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 )を2つの垂直な半径ベクトルとする円であるから、その円周上の点Qは
ベクOQ = ( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 ) + cosθ( 1 , 0 , 0)　+ sｉnθ( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 )
　　　　　 = (cosθ, ( 1 + sｉnθ) /√2 , ( 1 + sｉnθ) /√2) と書ける。
このとき直線PQの式（ベクトル方程式）は
L：　( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 2√2) + t (cosθ , ( 1 + sｉnθ) /√2 , ( - 3 + sｉnθ) /√2)
〔t はパラメータ〕
であり、これとxy平面との交点は2√2 + t ( - 3 + sｉnθ) /√2 = 0 ⇔ t = 4 / ( - 3 + sｉnθ)
に対応する点でR (4 cosθ/ ( - 3 + sｉnθ) , 4( 1 + sｉnθ) /｛( - 3 + sｉnθ) √2｝ , 0 )
ここでθが変化するときのこの点Rの軌跡を求める。これを( X , Y , 0 )とおくと、
sｉnθ= (3Y√2 - 4)/(4 + Y√2) , cosθ = 4X /(4 + Y√2)
θを消去して、(3Y√2 - 4)＾2 + (4X)＾2 = (4 + Y√2)＾2　∴X＾2 + (Y - √2)＾2 = 2
これは点R( X , Y , 0 )の満たす関係式であり、点Rが円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2上にある
ことを示す式である。また、図形的にRはこの円上をすべて動くので、求める点Rの軌跡、即ちS
の輪郭は円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2　…（答）
(2) 解答１と同じ。

438 名前：元塾講師：2006/02/09 11:39

解説：写像の考え方には2つの考え方を使い分けてもらわなければならない。
順像的な考え（順像法）と逆像的な考え（逆像法）という2つである。

順像法とは写像を順番どおり解析していく手法であり、本問ではまずQを決め、それに従いRを
決めるという（順番どおり決定していく）考え方である。

逆像法とはRの存在条件として、1つ前のQの存在に着目し、Qを題意の条件を満たすような形で
存在せしめるRが題意に適うという、「Rの存在条件をQの存在条件で処理する」（R→Qという
逆対応（逆写像）を考えることでRの存在条件を考えるという）考え方である。

439 名前：元塾講師：2006/02/09 11:41

例えば次の問題で考えてみる。
「直線L： y = mx + m＾2　において、mがm≧0を満たして変わるとき、直線Lの通過領域を
求めよ。」
この問題はそのまま読めば、mを決めるとLが1つ決まるから、mをいろいろと動かして考える
時、直線の動きを考えるという　m →　L という流れを持つ。

440 名前：元塾講師：2006/02/09 11:44

これを順像法で考えるなら、mをいろいろ動かした時のLの通過領域を直接考えることになる。
といってもm = 1 のときy = x + 1 , m = 2 のときy = 2x + 4 ,…などと考えていくにし
ても一気に直線の動きの全体像を捉えることはできないので、まずある固定されたx 座標での
動きを考える。例えば x = 1 の位置に限定して考えると直線はm = 1のときy = 2 , m = 2
のときy = 6 , ……　とyの位置が決まってくる。x = 1 の位置に限定して考えると一般に m≧0
に対し、 y = m + m＾2　と決まってくるので、mをいろいろ変えていく時yはそれに対応して
y = ( m + 1/2)＾2 - 1/4 ≧0 (等号はm = 0のとき)　の範囲で変わることになる。つまり、
x = 1 の位置に限定して考える限り、(∞＞) y ≧0 が直線Lの通過領域ということになる。
あとはこの考えを一般の各xについても押し進めて考えれば良い。つまり
『xを固定して考えると、
y = mx + m＾2 = ( m + x/2)＾2 - x＾2/4　（= f (m)とおく）において、mがm≧0の
範囲で変化する時のyの値域は?）- x/2≧0のとき：　y ≧ f(- x/2) = - x＾2/4
　　　　　　　　　　　　 ?）- x/2＜0のとき：　y ≧ f(0) = 0　
よって求める通過領域は"x≦0かつy ≧ - x＾2/4 " 又は" x＞0かつ y ≧ 0 "である』

多変数関数の動きなので、文字固定法という技法を用いはしたが、本質はmの変化ごとの
yのとり得る値域を求めるという順番どおりの考え方であることを納得していただきたい。
(以上順像法)

441 名前：元塾講師：2006/02/09 11:46

これに対し逆像法では次のように考える。
『点（x , y）が求める領域内にある　⇔　y = mx + m＾2 を満たすmがm≧0の範囲で存在する
　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　mの方程式 m＾2 + mx - y = 0 がm≧0の範囲で解を持つ
ここでg(m) = m＾2 + mx - y = ( m + x/2)＾2 - x＾2/4　- y とおけば、g(m)のグラフはm = - x/2
を対称軸とする下に凸な放物線であるから、これがm軸とm≧0の範囲で共有点を持つ条件は、
?）- x/2≧0のときg (- x/2)≦0　　　?）　- x/2＜0のときg (0) ≦0　
整理して"x≦0かつy ≧ - x＾2/4 " or " x＞0かつ y ≧ 0 "。
これが求める通過領域を表す式である。』

442 名前：元塾講師：2006/02/09 11:48

つまり点（1 , 2）が求める通過領域内にあるか否かは、あるmがあってy = mx + m＾2が点（1 , 2）
を通るように出来るか、つまり2 = m・1 + m＾2を満たすmが存在するか否かに依存する。今m = 1
はこれを満たすので、このmに対し2 = m・1 + m＾2が成り立つ、即ち、このmに対しy = mx + m＾2
が点（1 , 2）を通ることが確かめられる。
この考えを一般に押し進めると点（x , y）が求める領域内にあるかどうかは　、y = mx + m＾2 を
満たすmがm≧0の範囲で存在するかどうか問題にすりかえられる。もしある点（x , y）が求める領域
内にあるとすればy = mx + m＾2 を満たすmがm≧0の範囲で存在するはずだし、
逆にもしy = mx + m＾2 を満たすmがm≧0の範囲で存在するならば、そのmに対して決まる直線は点
（x , y）を通ることは確実である。このように（x , y）の存在条件をmの存在条件にすりかえて考
えていく、即ち（x , y）→m という形で、本来の流れに逆行して考えることで（x , y）が満たすべ
き必要十分条件を求めていくというのが逆像法である。

443 名前：元塾講師：2006/02/09 11:50

本問の場合Q→Rという流れどおり、Qを（パラメータを用いて）表示し、それを基に決まるRを
求めた上で軌跡の問題としてRの動きを検討していくのが順像法。(解答2)
Rの存在を前駆的なQの存在の問題にすりかえて、題意を満たすRについてはその前駆的な存在
としてのQが存在するはずであるし（必要性）、逆にQを条件内に存在せしめるようなRであれば、
そのQからRを作成できる（十分性）というR→Qという流れの中からRの満たすべき条件を決めて
いくというのが逆像法ということになる。　（解答1）

444 名前：元塾講師：2006/02/09 11:55

解説2：本問ではRの軌跡を求めるのであるから、逆像法で考える方が直接的にX, Y の関係式
を得られるので楽であることは、比較すればすぐに分かることと思う。
ちなみに解答１でt が存在する為には「Y ≠ -2√2が必要」としたのは、Y =2√2のときはt
が存在しない（したがってQが存在しない）ので、Y =2√2のようなRは題意を満たさないので
考える必要がない（求める領域内には無い）ということである。
ともかくRが求める領域内にあるならば、その前駆的存在としてQが条件内に決まることが
必要（かつ十分）なのであり、
Y ≠ -2√2はRが満たすべき必要条件である。
そして、Y ≠ -2√2かつX＾2 + (Y - √2)＾2 = 2　が「Qを条件に適
うように存在せしめる」R( X , Y , 0 )に関しての必要十分条件なのである。　　

445 名前：元塾講師：2006/02/09 11:57

>>444 訂正：
「Y =2√2のときはt
が存在しない（したがってQが存在しない）ので、Y =2√2のようなRは題意を満たさないので
考える必要がない」
→
「Y =-2√2のときはt
が存在しない（したがってQが存在しない）ので、Y =-2√2のようなRは題意を満たさないので
考える必要がない」

446 名前：元塾講師：2006/02/09 11:59

なお、>>107の解説や　>>175の式（関数）の値域を求める問題（これは問１の別解）で、式 = k
とおいてxが条件に適う実数解をもつようにkの範囲を求めるというのも同じ逆像法の考え方である。
つまりx →kという決まり方に対し、k →x という逆対応を考察することで、
「xを条件に適うように逆対応せしめるｋであれば、再びそのxからkを作ることが出来る以上、
そのkは可能なのである（とり得る範囲内にあると考えるのである）」と判断される。

447 名前：元塾講師：2006/02/09 12:00

解説3:
解答１と解答２の違いで注意したいのは、X＾2 + (Y - √2)＾2 = 2という式だけを見るならば、
これはR( X , Y , 0 )のx座標とy座標の関係式で、Rが円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2　上にあ
ることを示すに過ぎない。つまりRがこの円上のどの部分を動くかとか、この円全体を動き得る
のかとかまではこの式だけからは汲み取れない、だから一般に軌跡領域の問題では、x座標とy座
標の関係式を出した最後にパラメータの変化に対する、実際のX、Yの変域を調べたりして、この
円上のすべてを動き得るのか、一部を描くに過ぎないのかを論じる必要がある。例えば、解答2の
最後の説明がそれであり、これは必須のものである。
しかし解答1においてはその説明は不要である。というのもQを（条件に適うように）存在せしめる
Rの必要十分条件が、X＾2 + (Y - √2)＾2 = 2であるので、Rを円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2　
上のどの点として想定しても、その1つ手前の状態（逆写像）としてQを存在させれるので、そのRは
可能な点であるから。Rは円上のあらゆる点として考えてよい（あり得る）ということになる。
ここらあたりの理論は解答１、解答２では異なってくる。この2つの解法は考え方が全く違う
（180°違う）のでそれぞれの理論にしたがって正しい論証をして欲しい。

448 名前：元塾講師：2006/02/09 12:01

この順像法、逆像法は高校数学のあらゆる場面で出てくるのでしっかりした理解が必要である。
単に軌跡領域分野で問題になるだけではなく、写像、変換、置き換えなどあらゆる数式処理
の場面で基礎的な考え方になります。この視点から数式処理の部分を振りかえってみて下さい。

449 名前：元塾講師：2006/02/09 12:04

参考１：　y = mx + m＾2とy = - x＾2/4はx = 2mの位置で接しながら動く。
逆に言えば直線y = mx + m＾2は放物線y = - x＾2/4のx = 2mの位置における
接線として動く。
このように動図形（パラメータによって動く図形）が一定の曲線に接しながら動くことはよく研究
されており、この曲線を包絡線と呼ぶ。（必須事項ではないが、知っておくと役立つこともある）

参考2：円板Cの方程式はz = yかつx＾2 + (y - 1/√2)＾2 + (z - 1/√2)＾2 ≦ 1 である。
なお、（空間図形で）円とは「球と平面の交わりとして得られる曲線」であるという見方は役立つことがある。

450 名前：元塾講師：2006/02/14 11:52

訂正：
　「y = mx + m＾2とy = - x＾2/4はx = 2mの位置で接しながら動く。」
→「y = mx + m＾2とy = - x＾2/4はx = -2mの位置で接しながら動く。」