NO.10389757

0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

251 名前：元塾講師：2005/10/05 11:19

コラム：　未来を創ろうとする君達に贈る言葉
「これまでの存在はすべて、自分自身を乗り越える何物かを創造してきた。あなたがたは
この大きな上げ潮にさからう引き潮になろうとするのか、人間を克服するよりもむしろ
動物にひきかえそうとするのか？　　人間は克服されなければならない或者なのだ。」　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Friedrich Nietzsche）

252 名前：匿名さん：2005/10/10 11:30

超神スレ

253 名前：匿名さん：2005/10/10 12:55

マセマ合格→一対一の例題と上手くいってますが次の問題集何をしたらいいでしょう？演習題は読んで覚えてます。志望校は?C中心でそれ以外から出てもベクトルぐらいで?A?Bはセンター対策にして、?Cだけ発展的なのをやるのは危険でしょうか？スレ違いならごめんあそばせ

254 名前：元塾講師：2005/10/10 21:55

補足：
>>249について
K の計算について。初心者はΣのままではイメージしにくいでしょう。まずシグマをはずして全部書
いて考えれば式の意味が分かり易いでしょう。
nCk = nCn-k　を使うと、ちょうど1+2 + …＋ｎ がn+ (n-1) +…＋1
として現れるのと同じような形になり、この2つをペアにして足すと、2項定理で計算が進んでいくき
ます。そこで、2K = …というかたちで求めたのです。
Σはあくまで簡略化のための記号で、考える上ではこのままでは分かりにくいが、全部書いてみるとす
ぐに式のイメージがつかめるということは多いのです。
Σはあくまで説明を簡略化するための、答案上の表記に過ぎないくらいで思っておいて下さい。
とくに初心者はいちいち書き出すのが原則です。

255 名前：元塾講師：2005/10/10 21:58

問36：
nを2以上の自然数とする。X1≧ X2≧… ≧ XnおよびY1≧ Y2≧… ≧ Ynを満足する数
列X1 , X2, … , XnおよびY1 , Y2 , … ,Ynが与えられている。Y1 , Y2 , … ,Yn
を並べかえて得られるどのような数列Z1 , Z2 , … ,Znに対しても
Σ｛j = 1～n｝(Xj-Yj)＾2≦Σ｛j = 1～n｝(Xj-Zj)＾2が成り立つことを証明せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1987　東大）

256 名前：元塾講師：2005/10/10 22:00

解答：　示すべき式の両辺を展開し、Σ｛j = 1～n｝Yj＾2 =Σ｛j = 1～n｝Zj＾2に注意すれば、
これはΣ｛j = 1～n｝XjYj　≧Σ｛j = 1～n｝XjZj　と同値である。この式は、
「n項からなる広義の減少数列｛Xn｝と｛Yn｝の中から1つずつ取り出して積を作るとき、その積
の和が、Σ｛j = 1～n｝XjYj を越えないこと」（※）を意味する。
以下これをnについての数学的帰納法により示す。
?）n = 2　のときについて：、X1≧ X2 , Y1≧ Y2　のとき、X1Y1 ＋X2Y2 ≧X1Y2 ＋X2Y1 ⇔
　　(X1 - X2)(Y1 - Y2)≧0が成立するので（※）はn = 2のとき確かに成立する。
?）１以上の整数nにおいて、（※）が成立するものと仮定する。
　　n + 1項からなる広義の減少数列｛Xn｝と｛Yn｝の中から1つずつ取り出して積を作ることを　
　　考えXn+1とYp , Yn+1とXq の組み合わせを考えると、積の和にXn+1Yp ＋Yn+1Xqという　　
　　項が入るが、ここでこの4数の組み合わせを入れ替えて、XqYp ＋Xn+1 Yn+1とした場合、　　　
　　積の和をより大きく又は等しくすることが出来る（少なくとも小さくならない）。なぜなら、
　　(XqYp ＋Xn+1 Yn+1) - (Xn+1Yp ＋Yn+1Xq) = (Xn+1 - Xq)(Yn+1 - Yp)≧0であるから。
　　次にXn+1 Yn+1を除いて、他の｛Xi｝と｛Yi｝（i = 1, 2 ,…, n）の組み合わせについては、仮定　　　　
　　より、Xj　とYj　を組合せていく(j = 1,2,…, n)方が他の組み合わせより大きくなるか等しい。
　　以上より　n + 1項からなる広義の減少数列｛Xn｝と｛Yn｝の中から1つずつ取り出し場合の　　
　　組み合わせとしても、Xj　とYj　を組合せていく(j = 1,2,…, n,n+1)方が他のどのような組み　
　　合わせよりも小さくなることはない。これは（※）がn+1においても成立することを示す。

257 名前：元塾講師：2005/10/10 22:01

以上より、すべての2以上の自然数nに対し（※）が成立することが示されたので題意は満たされた。

258 名前：元塾講師：2005/10/10 22:03

解説：
示すべき事項は“大きいモノ同士、小さいモノ同士”組み合わせる方が積の和は大きくなるという
ことである。これは感覚的には当然と思えるであろう。（私の言う、受験数学用の第3の不等式。）
例えば500円玉、100円玉、10円玉のどれかを7枚、どれかを5枚、どれかを3枚あげるといわれれば、
誰もが500円玉を7枚、100円玉を5枚、10円玉を3枚もらおうとするのではないだろうか？（つまり
500×7＋100×5＋10×3　という積の組み合わせ方が和を最大にする）やはり、大きいものにより
大きなバイアスをかけた方が得であろう。
これを説明するのみである。
一般的に説明するときに問題のように｛Zn｝などと新たに｛Yn｝の並べ替えの数列を持ち出すと、
余計に説明がわかりにくく混乱するような気がする。
そこで、｛Xn｝と｛Yn｝をどう組み合わせるのがいいか（積の和Σ｛j = 1～n｝XjZj　を最大に
出来るか）という観点のみから解答を作成した。一般的に書いても良いですが、ｎ+1のときの組
み合わせをいろいろ考える時、nのときの組み合わせの結果を利用して考えることが出来るので、
帰納法に乗せた方が説明しやすいと思います。

259 名前：元塾講師：2005/10/10 22:22

>>253 返答
私は君達の倍の年齢がありますし、数学と関わっていたのも随分昔ですから、今の高校数学の内容、
教科書も全く知りません。マセマ合格とか１体１とか言われても何のことか分かりません。手元に
あるのはやや古い東大過去問いくつかとネットにある（先に示した）京大の過去問のみですから、学
ばなければならない内容は推測できますが、?A?B?Cとかいう区別は分かりません。ただ一般的
なことだけ言っておきます。
高校数学ではすべての分野が関連していると考えて下さい。ある１問を解くのにもあらゆる分野か
らのアプローチが可能なことが少なくありません。し、いろいろなアプローチから可能なところに
面白さがあるし、このような別解を作っていく訓練をしてはじめて、全体的な実力がつくのです。
（そして最終的には自然な数学的思考ということですべてまとまっていくのです）
そういった関連性を把握していく為には、まず、最低限のスッテプ的な学習が必要です。
この段階では教科書的な順番通りの学習がむしろ大切です。例えばベクトル（相対座標系と呼びま
す）はｘｙ直交座標系の、より抽象的な概念として考えることが出来ますが、これはさらに座標変
換、パラメータ変換などに繋げられます。
このように理解していく場合は、絶対座標系 → 相対座標系 → 座標変換という学習順番があると
思いますので、基礎のうちはこのような順番通りの分野毎の学習が不可欠でしょう。
大まかには基礎的な式の扱い分野、代数幾何、確率、微積分くらいには分割していいと思いますが。

260 名前：元塾講師：2005/10/10 22:28

コラム：（興味のある人だけ読んでください。数学学習とは関係ありません。私的な意見です）
しかし基礎が固まった（と感じた）段階の人は、分野毎の勉強ばかりしても、つながりや、公式、
法則使い方は見えてこないでしょうし、どういう時にどういう手段で使っていくかは実地訓練から
入っていくしかないと思いますので、分野を問わず、日によって分野を変えたり、実際のランダム
な入試問題に取り組んだりすればいいと思います。特に難関大の過去問は良問が多いので、早くか
らこれを題材に学習すればよいのではないでしょうか。別解も豊富な問題集だと、１問もんからい
ろいろな分野とその関連、自分にフィットした使いやすい方法を学んでいけると思います。でも、
大体そんな中で、自分はこの公式、基礎事項を上手く使えてないな、理解が不充分だなということ
が出てくると思いますのでその時は基礎に戻って関連問題を解きなおしたりして、関連事項を把握
します。しかし把握するのと実際に使いこなせるようになるのは別なので、当面はどんどん実践で
試しては、撤退し再び基礎に戻り再び実践…再び基礎というのを繰り返していくしかないよう
な時期があると思います。（つらい時期ですが）

261 名前：元塾講師：2005/10/10 22:32

>>256 訂正です。
?）１以上の整数nにおいて　→　?）2以上の整数nにおいて
（帰納法の2nd stepの仮定部分は１st stepと重ねないと後々、帰納法は回転しませんので当然ですが）

262 名前：匿名さん：2005/10/22 13:32

あれ…なんか更新されてない。。
楽しみにしてるのに

263 名前：あさ：2005/10/26 08:05

来年東大を志望しているあさです。
こんな掲示板が存在しているとは正直驚きです。
１から少しずつ解いていきたいです。
分からないところも出てくると思いますのでそのときは
よろしくお願いします。

264 名前：匿名さん：2005/10/29 10:53

元塾講師さん、海外出張中？

265 名前：匿名さん：2005/11/06 07:35

あげ

266 名前：匿名さん：2005/11/10 15:43

あげ？

267 名前：匿名さん：2005/11/13 08:39

もう、おしまいなの？

268 名前：匿名さん：2005/11/13 15:07

ぽいなあ　俺も残念　

269 名前：匿名さん：2005/11/15 13:17

お～い、元塾講師さ～ん ( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ　

270 名前：匿名さん：2005/11/18 04:53

帰ってきてください。

271 名前：匿名さん：2005/11/18 14:55

あぁ・・・読者の反応が薄かったからか・・・(´･ω･`) ｼｮﾎﾞｰﾝ

272 名前：匿名さん：2005/11/23 07:41

捕手

273 名前：現塾講師（初カキコ）：2005/11/23 08:57

スレ主がいなくなったのなら、俺が受け継いでもいいけど？
週1くらいしか来れないんだけど。

274 名前：匿名さん：2005/11/23 12:30

>>273
ぜひお願いします！

275 名前：匿名さん：2005/11/23 12:32

>>274に同じ

276 名前：匿名さん：2005/11/23 14:04

ここまでの問題ワードにまとめ終わったー！
ついにこれを実践するときがきたなぁ。

>>273
元塾講師さんがこのスレに戻ってきたとき混乱しないように（するようなお人にはみえないけど・・・）新スレ立てても
新スレでもいいんじゃないでしょうか。

どっちでやるにしてもやってくださるならぜひお願いします！

277 名前：匿名さん：2005/11/23 14:07

>>276
一行目の最後に修正の残骸が・・・orz
「新スレ立てても」は見なかったことにしてください。

278 名前：現塾講師：2005/11/24 12:53

了解した。
とりあえず、どうやってスレを進めるかを、今、考え中です。
このスレで講義された例題の練習問題的なものを出してやっていこうかな～と思ってます。
読者の反応を見たいので、解説の後、やさしめの問題を出して、できた人に
解いて（書いて）もらうというのも入れた方がいいみたいだね。
あと、まだこのスレは全部は読んでないので、読んで参考にさせていただきます。

スレ主さんと混乱するおそれもあるようなので、新しいHNも考えてくるわ。
じゃ、また。

279 名前：匿名さん：2005/11/24 22:34

期待

280 名前：匿名さん：2005/11/25 03:16

>>278
期待してます！

281 名前：匿名さん：2005/12/01 00:45

ほしゅ

282 名前：匿名さん：2005/12/03 02:08

いいスレかと思いきや

283 名前：匿名さん：2005/12/03 05:17

>>278
ありがとうございます。
期待します。

284 名前：Master ◆mxnad08k：2005/12/04 02:19

とりあえず、このスレの問1の別解の紹介から。


[例題1]
すべての正の実数x , yに対し√x＋√y≦k√(２x＋y)
が成り立つような実数 ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

[理系用の解答](数学?の微分の知識が必要)
与えられた不等式は、
k≧(√x＋√y)/√(２x＋y) =(√t +1)/√(2t+1).　( t = x/y > 0)
これが、任意の正数x,y,すなわち任意の正数 t に対して成り立つための条件は、
右辺 f(t)=(√t +1)/√(2t+1) の最大値 M があれば、
k≧M であるから、求めるものは M で、
f’(t) = {1/(2t+1)}{√(2t+1)/2√t - (√t +1)/√(2t+1) }
　　　=(1-2√t)/{2(2t+1)√t√(2t+1)}
により、f(t) はt=1/4 で極大かつ最大となるから、
M=f(1/4)=(1/2+1)/√(3/2) = √(3/2) (= √6/2) ■

(解説)
各項における、x,y の次数が一定の数式を同次式という。
(本問の場合は1/2次の同次式となっている。)
同次式では、t = x/y と置くのが定石で、これにより、
2変数x,y の式が t の1変数の式にすることができる。
理系の人ならこの解答が一番スタンダードで、必ず身につけてほしい手法です。

★本問で用いたテクニック★
「文字定数の分離」（←解答2行目）
「同次式ではt = x/y と置く」

285 名前：Master ◆mxnad08k：2005/12/04 02:24

最近ちょっと忙しいのでとりあえずここまでです。

286 名前：匿名さん：2005/12/04 14:10

乙です

287 名前：匿名さん：2005/12/06 09:02

>>284
別解乙

288 名前：匿名さん：2005/12/06 12:33

>>Master様
ここで受験数学に必要な技術が網羅できるようにしてもらえないでしょうか？
ぜひお願いします！

289 名前：匿名さん：2005/12/06 15:04

期待

290 名前：匿名さん：2005/12/07 13:56

他教科もできる数学マニアと他教科ができない数学マニアがいる。
他教科ができない数学マニアは結構国立は落ちて私学に流れる。
その辺の力量の兼ね合いも考えてお前ら勉強するんだな。。

291 名前：匿名さん：2005/12/11 00:57

hosyu

292 名前：Master ◆mxnad08k：2005/12/11 09:00

[例題2]
ｆ(ｘ)＝1－sinｘ　に対し、ｇ(ｘ)＝∫[0,ｘ]（ｘ－ｔ）ｆ(ｔ)ｄｔ　とおく。
このとき、任意の実数ｘ、ｙについて
ｇ（ｘ＋ｙ）　＋　ｇ（ｘ－ｙ）≧　2ｇ（ｘ）　が成り立つことを示せ。 （1995東大）

293 名前：Master ◆mxnad08k：2005/12/11 09:03

スレ主さんが既に解答を書かれておりますが、もう少し詳しく書いておきます。

[解答]
ｇ(ｘ)＝ｘ∫[0,ｘ]ｆ(ｔ)ｄｔ　－　∫[0,ｘ]ｔｆ(ｔ)ｄｔ　により、
ｇ´（ｘ）＝∫[0,ｘ]ｆ(ｔ)ｄｔ　＋　ｘｆ（ｘ）　－　ｘｆ（ｘ）　＝　∫[0,ｘ]ｆ(ｔ)ｄｔ.
∴ｇ´´（ｘ）＝ｆ（ｘ）＝　1－sinｘ　≧0　…………………………………☆
ここで、ｇ（ｘ＋ｙ）　＋　ｇ（ｘ－ｙ）－　2ｇ（ｘ）　をｙの関数と見なして（ｘは定数と見なす）、ｈ（ｙ）とおくと、
ｈ（ｙ）＝ｇ（ｘ＋ｙ）　＋　ｇ（ｘ－ｙ）－　2ｇ（ｘ）
ｈ´（ｙ）＝ｇ´（ｘ＋ｙ）　－ｇ´（ｘ－ｙ）
ｈ´´（ｙ）＝ｇ´´（ｘ＋ｙ）　＋ｇ´´（ｘ－ｙ）　≧0　（∵☆）
ｈ´（ｙ）はｙの単調増加関数である。
ｈ´（0）＝0　であるから　ｈ´（ｙ）≦0　（ｙ≦0）、　ｈ´（ｙ）≧0　（ｙ≧0）
よって、ｈ（ｙ）≧ｈ（0）＝0.
したがって、題意の不等式が成り立つ。■

294 名前：Master ◆mxnad08k：2005/12/11 09:16

(解説)
関数f(x)が、定義された区間でつねに
{f(x_1)+f(x_2)}/2 ≧ f((x_1+x_2)/2)
をみたすとき、f(x)を下に凸な関数という。
たとえば、f(x)=x^2 ,f(x)=e^x などは下に凸な関数である。
本問において、
　 ｇ（ｘ＋ｙ）　＋　ｇ（ｘ－ｙ）≧　2ｇ（ｘ）
⇔{g(x_1)+f(x_2)}/2 ≧ g((x_1+x_2)/2) 　(←x_1=x+y ,x_2=x-y とおいた)
なので、この問題は関数g(x)が下に凸であることを証明する問題である（と解釈したほうがよい。）
スレ主さんのように、

「ｇ´´（ｘ）≧0　だからg(x)は下に凸。
よってｇ（ｘ＋ｙ）　＋　ｇ（ｘ－ｙ）≧　2ｇ（ｘ）　が成り立つ」

としたのでは、厳密には論理が逆になる。答案としてそのように書いても、
満点がとれるとは限らない気がして不安が残るので、（赤本の解答者もそのことに注意している）
上のように解答した。別解も各自考えてみて下さい。

295 名前：Master ◆mxnad08k：2005/12/11 09:20

>>294
訂正です。

　 ｇ（ｘ＋ｙ）　＋　ｇ（ｘ－ｙ）≧　2ｇ（ｘ）
⇔{g(x_1)+g(x_2)}/2 ≧ g((x_1+x_2)/2) 　(←x_1=x+y ,x_2=x-y とおいた)

296 名前：Master ◆mxnad08k：2005/12/11 09:30

>>288
東大や京大の問題は他の大学の入試問題にも（多少改変して）出題されたりするので、
元ネタを知っていると割とあっさり解けたりします。
このスレはよく出来てると思うので、自分が理解できた問題をよく復習するようにしてください。

297 名前：匿名さん：2005/12/16 02:24

乙です。
しかし元塾講師さんは一体どこへ・・・・？
まあ別に戻ってこないのならそれでもいいけど。

298 名前：匿名さん：2005/12/21 03:55

hosyu

299 名前：匿名さん：2005/12/21 14:08

gj

300 名前：Master ◆mxnad08k：2005/12/23 14:47

※お知らせ※
週に一回くらいここにくると前に書きましたが、
俺の都合により、更新は不定期とさせていただきます。
メリークリスマス