NO.10389757

0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

638 名前：匿名さん：2007/04/06 07:18

元塾講師さん
このスレの内容で本出して
ここすごすぎるよ

639 名前：匿名さん：2007/04/06 07:32

全然すごくないしー　ツマンナイー

640 名前：匿名さん：2007/04/13 14:34

やっぱりすごいよ　
このスレは

641 名前：匿名さん：2007/04/13 15:31

>640
無能は帰れよ

642 名前：匿名さん：2007/04/13 16:23

瀧先生は最高！

643  名前：投稿者により削除されました

644  名前：投稿者により削除されました

645 名前：匿名さん：2007/10/03 04:58

646

646 名前：匿名さん：2007/12/12 19:22

マジでか

647 名前：匿名さん：2008/02/01 19:19

てかこのスレって
何気に凄いという

648 名前：匿名さん：2008/02/01 19:20

>>624
２番はコーシーシュワルツで一発
どうだ

649 名前：匿名さん：2008/02/01 19:24

てか書いてるな
すんまそ

650 名前：ぽ：2008/04/06 12:08

はじめまして　こんばんわ。
（ｘ４ひく８１）の因数分解を教えてください。

651 名前：ぽ：2008/04/06 12:13

答えは（X２＋９）（ｘ＋３）（ｘ－３）でもいいのですか？

652 名前：匿名さん：2008/04/20 18:02

実数の範囲なら。まぁ普通はそうだけど。y=x^4-81 のグラフはx=3,-3の2点でしか
x軸と交わらないから実数の範囲だとそれ以上因数分解はできないよ。

653 名前：匿名さん：2008/04/21 11:06

わざわざグラフを出す必要ないよね＾＾；

654 名前：匿名さん：2008/04/23 15:05

>>115
接線の傾きが負であることから、極値を取る点（x=1/√3）は
必ずｙ＝ｘの交点の左側にありますね。

655 名前：匿名さん：2008/04/28 13:46

東大の正八面体のやつ　分からん

　　　　　　　教えてくれ

656 名前：匿名さん：2008/04/30 02:33

ちわ
わいも分からん。＾＾；

657 名前：匿名さん：2008/05/01 04:55

そもそも、正八面体がどんな立体か知ってるのか？>>655

658 名前：匿名さん：2008/05/03 03:44

知らんだろ

659 名前：匿名さん：2008/05/05 13:26

本質の研究

660 名前：匿名さん：2008/05/07 02:15

まず、東急ハンズかどこかで正八面体の模型を
買ってくることから始めろ。

661 名前：匿名さん：2008/05/23 21:24

東急ハンズ?

662 名前：匿名さん：2008/05/25 13:07

フリーターって年とると本当に悲惨だよ・・・
漏れ、正社員だけど趣味でバンドやってるんだが、
やっぱりバンドやってる人にはフリーターが多い。

若い頃はいい。
漏れも「レコード屋でバイトしながらバンドなんていい生活だなー」
なんて思ってたし。実際、フリーターの人達は、
社員の漏れなんかよりよっぽど自由で楽しそうだった。

ところがね、３０になると「変わる」。ホントに。びびるよ。
漏れもそろそろ３０になっちゃいそうな年齢なもんで、
３０になっていったフリーターを結構見てきた。

「あんな明るいハイテンションの人がなんで？」
っていうくらい暗くなっていく。可愛い彼女がいた人も、
いつのまにか別れてる。無職率も増加（バイトがないわけでは無いが、やらない）。
そして見てて一番つらいのが、無理に大物ぶるんだよね。
脇から見てれば人気も無いのに歳くって居座ってるから扱いづらいだけなんだけど
（漏れも人気がないけど）。やってる人ならわかると思うけど、
あの落ち着いた、独特のスカしたような感じ・・・あれが痛々しくみえてくる。

漏れはバンドやりたいひとはガンガンいくらでもやればいいと思う。
ただし、計り知れないリスクが控えている事も心得て欲しい。
趣味でやる範囲だったら十分リーマンでも楽しめる。
社会批判して生きがってるのが様になるのは若いうちだけだとリアルに実感するよ・・・

663 名前：匿名さん：2008/06/09 14:08

最近ここで勉強させてもらってるものです
元塾講師さんに勝手に質問させてもらいます。いつでもいいんでよければ答えてください

１、なんで数学にできる人とできない人の差が開いてしまうのか。
　　それは例えば塾とかで同じ授業を受けていたときとかでなんですが。
２、今年の東大の数学はだいぶ難しいといわれてましたが、やはり
　　「自然な流れ」なるものがつかめれば、「難易度の波」とかって
　　感じないものですか？

ま、スレなんで見てる人には　お前がアホだからとか　そんな感じで冷たく
あしらわれるんだろな
でも今年の東大を簡単とかいうひとは、単なる通りすがりのですよね

664 名前：匿名さん：2008/06/10 02:17

>>663
>でも今年の東大を簡単とかいうひとは、単なる通りすがりのですよね

呼んだか？ｗ
一応、このスレにも時々は覗きに来ているから、通りすがりではないよｗ

今年の東大の問題（前期・数学）が簡単であるとは言わないが
決して難しくはない。
かなり古い問題などの使い回しが目立つので、最近の傾向とは
やや趣向が違うから、面食らった人は多いと思うが
冷静に問題を見ると、発想力を要求される問題（強いて言えば５番(2)）や
計算力を要求される問題などほとんどない。
このスレに挙がってる問題だと、>>7の問3、>>164の問27、>>189の問30、
割と最近の例だと、2005年の3番（確か３倍角が出てくる問題）などの方が
よほど難しい。

とりあえず、人の意見を鵜呑みにせずに、冷静に問題を眺めてみてはどうか？
解くのに特殊な発想が必要な問題や、膨大な計算力を必要とする問題などは
一問もない。
それでもまだ難しいと主張するのであれば、具体的にどの問題のどこら辺が
難しいか書いていただければ、もっと突っ込んだ話もできる。
必要なら、こちらから１問単位で難易度の分析を書いてもいいですよ。

665 名前：匿名さん：2008/06/10 02:28

ついでだから、元塾講師さんでなくて申し訳ないが
１についても私見を。

あくまで個人的な印象だけど、同じ授業を受けてできる人とできない人の
差が開くのは、先天的なモノもないとは言わないが、後天的な要素も大きいと思う。
たとえば、既に持ってる予備知識の差、基本レベルの計算能力の差、
塾（あるいは学校）以外の学習環境の差など。

しかし、一番大きいのは授業に臨む精神状態ではないだろうか？と思う。
たとえば、新しい事柄を学ぶ時に、興味津々で聞くのと、斜に構えて聞くのでは
学習効果が全然違う。
元塾講師さんも>>623で
>こちらの思いに応えて、どうぞ真剣に取り組んでくださいね。
と書いてらっしゃるように、果たして自分が教える側の思いに応えるぐらい
真剣に授業に取り組んでいるかどうかを振り返ってみてほしい。
そこで、教える側の思いが感じられない、というのであれば
そんな塾はやめてしまってよいと思うｗ
塾なんて沢山あるんだし。（地方だとそうはいかないかもしれないけど）

少なくとも「アホだから」などという理由では冷たくあしらったりはしないが
他人の意見に左右されて、自分の頭で考えることをあきらめてるようでは
数学はできるようにはならないよ。

666 名前：匿名さん：2008/06/10 02:40

そういや、元塾講師さんは2007年入試の年にはこのスレに現れたのに
今年はいらっしゃってないな。
健康を害されているのか、それとも、今年の問題に興味を覚えるほどの
問題がないのかｗ

667 名前：匿名さん：2008/06/11 07:00

>>664
３倍角が出てくるのは、2005年ではなく2006年の３番だな。

668 名前：匿名さん：2008/06/11 09:48

>>664,666 なるほど参考になります
数学が得意な人なんですかね？　　もう少し２について聞きたいんですが
計算量がどうしても異常というのは別の話として、
その、特別な発想でないということは自然な流れに従うということですよね。
ということは、どの問題が難しいとかあんま差とか感じないということなんですかね？

669 名前：匿名さん：2008/06/11 10:29

ガロア理論

670 名前：匿名さん：2008/06/11 15:03

ガロア理論って？？

671 名前：665：2008/06/13 16:39

>>668
>ということは、どの問題が難しいとかあんま差とか感じないということなんですかね？

まあ、そういう言い方をしたら、そうなってしまうかも？
だから、極論すれば、「今年の東大数学は簡単」という表現になりかねないわけだけど。

ただ、特別な発想がいらないから最後まで素直に解けるというわけでもなく
今年の東大前期数学を例にとれば
・１番は直線たちが定点を通るかどうか
・２番と４番は場合分けの存在に気づくか
・６番はグラフを（面積の求めたい領域が判別できる程度に）正しく描けるか
などのハードルがあるわけで、これに気づかないとダメ。
しかしどの問題もせいぜい１個しかハードルがない上、そのハードルの存在も
案外気づきやすいため、冷静に考えると難しいとは言えない。

これが2004年前期の出題なんかだと、素直な発想に見えて、計算してゆくと
どんでん返しが用意されていたり、先が読みにくい＆制限時間内に気づきづらい
問題が多く、数学的な難易度はそれほどではないが、限られた時間内で解く難易度は
かなり高かったりする。
そういう意味では、今年の東大前期数学は「解けるべくして解ける問題」しか
出題されてないと思う。

あと、>>665に追加で、できる人とできない人の差の１つは
授業後の反復練習の差もあると思いますよ。
もちろんどのぐらい反復練習すればよいかは、個人差もありますが。

672 名前：匿名さん：2008/06/13 16:42

>>670
大雑把に言えば、
n次方程式がどのぐらいの計算の手間で解けるか（解の公式が存在するか）
を研究する理論だと思えば桶。
もっとも、どういう脈絡で>>669が言ったかは知らんが。

673 名前：匿名さん：2008/06/15 13:16

>>671 >>672 わざわざ考えてもらって、丁寧に答えてくださってありがとうございます
ハードルって考え方にすごく共感がもてます。　　なるほど～ってかんじでした。

今度具体的な問題をあげさせてもらって、数学できる人が解くときに
どういうステップ、即ち　どこに注目し推論を始め、どういうながれで選択肢
を考えてるのかを是非聞きたいです。
昔塾講師さんが、関西弁でやってた感じのを

674 名前：672：2008/06/19 00:51

むしろ、個人的には、元塾講師さんの復活を希望。
年に１回ぐらいでもいいからｗ

675 名前：元塾講師：2008/06/26 09:49

半年振りにこのスレを見ました。
>>674のリクエストにお答えして、にわか復活してみます。
今年の東大の問題を解いてみたので２問解答を載せます。
（勝手に作った解答なので、不備がないことは保証できませんし、
ましてすぐれた解答ではありませんのであしからず。必要に応じ
他の人の解答も参考に訂正してください。
もし参考になる人がいれば幸いと思って載せるまでです。）

676 名前：元塾講師：2008/06/26 09:51

練習問題３

座標平面の点（x, y）を　(3x + y , －2x )へ移す移動fを考え、点Pが移る行き先をf（P）と表す。
ｆを用いて直線L0 , L1 , L2 , …　を以下のように定める。
・L0 は直線3x + 2 y = 1 である。
・点PがLn 上を動くとき、f（P）が描く直線をLn+1 とする（n = 0, 1, 2, …）。
以下Lnを１次式を用いてAn ・x　+ Bn ・y　= 1 と表す。
（１）　An+1 , Bn+1を An , Bn　で表せ。
（２）　不等式 An ・x　+ Bn ・y ＞ 1が定める領域をDn とする。 D0, D1 , D2 , …すべてに
　　　　含まれるような点の範囲を図示せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２００８　東大・理系）

677 名前：元塾講師：2008/06/26 09:54

解答
（１）Ln上の点P（p , q ）を考える〔An・ｐ＋Bn・q＝１　…　?〕。
移動ｆの定義よりf（P）＝ （3p +q , －2p）であり、これを（X , Y）とおくと、
p,q について解きなおしてｐ＝－Y/2 q = X + ( 3/2 )Y 。これを?に代入して
Bn・X + ｛(－1/2)An + (3/2)Bn｝・Y＝１
これは点f（P）＝（X, Y）が直線Bn・x + ｛(－1/2)An + (3/2)Bn｝・y＝１上にあることを示す。
Pが直線Ln上を動くときf（P）の軌跡はこの直線全体といってよく、これがLn+1である。
なぜなら、Ln+1上のある点f（P）に対しｆの逆変換を考えるとLn上のある点Pを一対一対応させることが出来、
Ln+1上の任意の点についても同じことが言えるのでf（P）がLn+1上の任意の点として存在しうるからである。
よって　　An+1=Bn 　, Bn+1　＝｛(－1/2)An + (3/2)Bn｝

678 名前：元塾講師：2008/06/26 09:56

（１）の解説
点の軌跡を求めるにはまず（X,Y）とおいてX,Yの関係式（x座標とy座標の関係式）を出すことが大事である。
しかし、関係式は点（X,Y）がどんな図形上にあるかを示しはするがその図形上でどのような動き方をするのか、
果たしてその図形上の全体を動くのか、一部しか動かないのかについての情報はまったく与えられない。
これについては、別に変域を考えたり、写像の対応関係を考えて、実際に図形上の全体を動くのか一部しか
動かないかを必ず考えなければならない。これは文字の置き換え（パラメーターの変換）のときに、変域が
変わったりするのと同じである。変換の対応関係に戻って変域を考えなくてはならないのである。（>>107も参考に）
尤も今回、逆変換を持つ一次変換が直線を直線に写すことは当然としてもよいと思うので、
解答の後半の議論は末節だし、不要かとも思う。

679 名前：元塾講師：2008/06/26 09:59

解答（２）
第２式よりAn=3Bn－2Bn+１　これを第１式に代入して2Bn+2 － 3Bn+1 + Bn = 0 　
　∴　2Bn+2 －Bn+1 = 2Bn+1 －Bn …　ア , 2Bn+2 －2Bn+1 = Bn+1 －Bn　…　イ
アより2Bn+1 －Bn　＝　2B1 －B0 = 1　〔A0=3 , B0=２であり（１）よりA1=2 , B1=3/2〕
イより 数列｛Bn+1 －Bn｝は公比1/2 の等比数列であり、
Bn+1 －Bn＝(1/2)^n ・（B1 －B0） = －(1/2)^(n+1)
辺辺引いてBn+1 ＝ 1+ (1/2)^(n+1) （n≧0）　
　∴Bn ＝ 1+ (1/2)^n （n≧1であるがn=0のときも正しい）
よってAn = Bn-1 = 1+ (1/2)^(n-1) （但しn≧1であるがn=0のときも正しい）
よって直線Lnの式はAn・X＋Bn・Y = 1　⇔（X+Y）＋（1/2）^n・（2X+Y）=1
と書け、これはnによらずX+Y=1かつ2X+Y =0 を満たす（X,Y）=(-1,2)を通ることが分かる。
まとめると直線Lnは点（-1 , 2）を通り、傾きが－An/Bn = －｛１＋（1/2^n）｝の
直線として変化するが、この直線の傾きはnの単調増加関数であり、
n=0 のとき 傾き = －2　, 　n→∞のとき 傾き→ －1 である。
求める領域は直線｛Ln｝を挟んで原点を含まない領域が重なる部分であり、図の通り（図は略）。

680 名前：元塾講師：2008/06/26 10:00

（２）の解説
問うている内容は、２項漸化式が解けますか？ということと
「図形f(x,y,z) + k g(x,y,z) =0 はパラメータkがどのように変わっても
f(x,y,z) =0 かつg(x,y,z) =0 を満たす領域（x,y,z,）を含む」という
式で表現された図形の図形的考察をする場合によくやる考え方をマスターしているかの２点で、
式の変形としてはパラメーター分離をすることがポイントである。
基礎事項を確認している問題で、各公式をどんな場面で使っていくかを実地訓練している人にとっては
何回も出てきている内容なはずである。要は各重要事項、公式の使いどころをどれだけわきまえているか、
使いどころを気づけるよう心の準備しているかではないだろうか。

681 名前：元塾講師：2008/06/26 10:06

練習問題４

自然数nに対し、(10^n－１) / 9 = 111…111(１がn個並んだ数)　を〔n〕で表す。
たとえば〔1〕＝１　〔2〕 = 11 〔3〕 = 111 である。
（１）m を0以上の整数とする。〔3^m〕 は3^mで割り切れるが、3^(m+1)では割り切れないことを示せ。
（２）nが27で割り切れることが、〔n〕が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2008　東大・理系）

682 名前：元塾講師：2008/06/26 10:14

解答
（１） 数学的帰納法により示す。
〔3〕 = 111　は3で割り切れるが、3^2では割り切れないので、命題はn = 1 のときに成立する。
命題がm = p のときに成り立つと仮定すると　〔3^p〕= k ・3^p （kは３の倍数でない整数）と書け、このとき
〔3^(p+1)〕= 111 …111（１が3^(p+1)個）
= 〔3^p〕×10^(2・3^p) + 〔3^p〕×10^(3^p) + 〔3^p〕
　　　(1の並びを3^p個ずつ3つに分けて表した)
　　　　　= 3^p ×｛k×10^(2・3^p) + k×10^(3^p) + k｝　　　である。
ここにk×10^(2・3^p) + k×10^(3^p) + k ≡　k + k + k ＝ 3k ≡3 or 6 （mod 9 ）
であるから｛k×10^(2・3^p) + k×10^(3^p) + k｝が3の倍数であるが9の倍数でないことを考慮すると、
〔3^(p+1)〕は3^p・3 = 3^(p+1)の倍数であるが3^p・9= 3^(p+2)の倍数ではない。
このことは命題がm= p + 1 で成立することを示す。
したがって、数学的帰納法により命題は任意の自然数m に対して成立することが示された。

683 名前：元塾講師：2008/06/26 10:15

（１）の解説
数学的帰納法で答案作成するのがやりやすいと思うが、その場合、ｍでの仮定を用いて
ｍ＋1 での成立を確認する作業が大切になるから、この場合〔3^(m+1)〕を〔3^m〕の情報に
結びつけることが大切になる。（帰納的に表現する≒漸化式を立てる）
〔3^(m+1)〕は１が3^(m+1) 個並んでいる数なのでこれは３つの“１が3^m 個並んでいる状態”
と分解すれば、容易に〔3^m〕の情報に結びつけることができる。

684 名前：元塾講師：2008/06/26 10:27

解答（２）
?）十分性の証明　（“nが27の倍数　⇒〔n〕が27で割り切れる”を証明する）
　nが27の倍数のとき、n = 27k (k：自然数)と書け、〔n〕　= 111 …111（１が27k個）
を上の桁から27個ずつ区切って考えると　
〔n〕= 〔27〕×10^27(k-1) +〔27〕×10^27(k-2) + ……　+ 〔27〕×10^27 +〔27〕
と表され、ここに〔27〕は（１）より27の倍数であるから、その和の形で表される
〔n〕は27の倍数である。

685 名前：元塾講師：2008/06/26 10:31

?）必要性の証明　（“〔n〕が27で割り切れる　⇒　nが27の倍数”を証明する）
　n を27で割った余りを rとおく（0≦r≦26）。
〔n〕= 111 …111（１がn個）を上の桁から27個ずつ区切って考えると、
〔n〕=〔27〕×10^α+〔27〕×10^β + ……　+〔27〕×10^δ +〔r〕（α、β、…、δは整数）
と書けるのであるが〔27〕は（１）より27の倍数であるから、〔n〕が27で割り切れるとすると
〔r〕が27で割り切れるということになる。
しかし、1つずつ考えるに、
＜〔1〕～〔8〕は27の倍数どころか9の倍数ですらない。（例えば〔3〕 = 111 〔6〕 = 111111 は3の倍数であるが、9の倍数でない）
　〔9〕は9の倍数であるが27の倍数でない。
　〔10〕～ 〔17〕 は9 の倍数でない。（例えば〔15〕　＝　111111111111111(1が15個並んでいる)　＝〔9〕×10^6 + 〔6〕 であるが、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　〔9〕は9の倍数であるが、〔6〕は9の倍数でないから〔15〕は9の倍数ではない）
　〔18〕は9の倍数であるが27の倍数でない。
　〔19〕～ 〔26〕 は9 の倍数ですらない。　まとめると…　＞
〔1〕～〔26〕はいずれも27の倍数でないので、〔r〕が27で割り切れるときr = 0 が必要である。つまりnが27で割り切れる。

686 名前：元塾講師：2008/06/26 10:31

以上の?）?）より題意は満たされた。

687 名前：元塾講師：2008/06/26 10:39

（２）の解説
必要性の証明でも、十分性の証明でも〔n〕が27で割り切れるかを考えるときに、
〔n〕を上の位から27個ずつ区切って考えることがポイントになる。
十分性の証明の方が具体的にnを決めて考察していけるので、先ずこちらから示した。
例えば、〔27〕が27で割り切れるのは（１）で示されているとしても、〔54〕が27で割り切れるかを考えるときは
〔54〕= 111 …111（１が54個）を上の桁から27個ずつ2つに区切って考え、
〔54〕= 〔27〕×10^27+〔27〕 として考えればこれが27で割り切れることがわかる。
（〔27〕=111…111=1の27個の並び　　が一つの単位として27で割り切れることが使える）
〔27k〕について考えるときも同じである。
逆にこのことから考えると、〔n〕が27で割り切れるかを考えるとき、〔n〕を上の位から27個ずつ1をはずしていき、
最終的にのこる〔n を27で割った余り〕＝〔r〕が27で割り切れるかだけが問題になる。
この意味では、mod 計算に近いイメージがある。（〔n〕という大きな数から27の倍数が明らかな部分を切り離して、
〔r〕という小さな数が27の倍数であるかどうかの問題に帰着させる点。Reduction =次数下げ　とも言える。）
ともあれ受験数学の整数、倍数の問題での基礎的事項はmod 計算になじんでいることなので、
まずは問14なども振り返って確認しておいて下さい。
なお、解答の〔n〕=〔27〕×10^α+〔27〕×10^β + ……　+〔27〕×10^δ +〔r〕（α、β、…、δは整数）
としたところのδはrに一致する。（＝〔n〕　において上の位から1を27個ずつとっていったときの最後に残る1の数。）
議論に関係ない部分なので正確さにこだわりませんでしたが、当然ですよね？