NO.10389757

0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

488 名前：元塾講師：2006/03/03 10:01

ここで、｛(cosθ)＾3｝' = 3(cosθ)＾2・(- sinθ) , ｛(sinθ)＾3｝' = 3(sinθ)＾2・(cosθ)
であるから、∫[0 ,π/4] ｛- sinθ・(cosθ)＾2 + (sinθ)＾2・cosθ｝dθ
= (1/3) [ (cosθ)＾3 + (sinθ)＾3] = 1/(3√2)　- 1/3　。
また、 (sinθ)＾3 = (3/4)・sinθ - (1/4)・sin3θであるから、
∫[0 ,π/4] ｛(sinθ)＾3｝dθ = [- (3/4)・cosθ + (1/12)・cos3θ] = - 5/(6√2) + 2/3　。
更に、　∫[0 ,π/4] ｛θ(cosθ+ sinθ) ｝dθ
=[θ(sinθ- cosθ) ] - ∫[0 ,π/4] (sinθ- cosθ) dθ　= 0 + [cosθ+ sinθ] = √2 - 1　。

よってこれらを（※）に代入して
V = (8√2 - 32/3) ・(r ＾3)　…(答)

489 名前：元塾講師：2006/03/03 10:03

別解の注：
（※）以下の計算は次のようにしても良い。

- sinθ・(cosθ)＾2 + (sinθ)＾2・cosθ- 2(sinθ)＾3
= - sinθ・(1/2 + cos 2θ/2) + (1/2 - cos 2θ/2)・cosθ- 2｛(3/4)・sinθ - (1/4)・sin3θ｝
= - sinθ・(1/2 + cos 2θ/2) + (1/2 - cos 2θ/2)・cosθ- 2｛(3/4)・sinθ - (1/4)・sin3θ｝
= - (1/2) ・sinθ- (1/2) ・(1/2)｛sin 3θ- sinθ｝ + (1/2)・cosθ
- (1/2) ・(1/2)｛cos3θ+ cosθ｝- (3/2)・sinθ + (1/2)・sin3θ
= - (7/4) ・sinθ + (1/4)・cosθ - (1/4)・cos3θ + (1/4)・sin3θ
であるから
∫[0 ,π/4] ｛- sinθ・(cosθ)＾2 + (sinθ)＾2・cosθ- 2(sinθ)＾3｝dθ
= [ (7/4) ・cosθ + (1/4)・sinθ- (1/12)・sin3θ - (1/12)・cos3θ]
=√2 - 5/3
また、
∫[0 ,π/4] ｛θ(cosθ+ sinθ) ｝dθ
=[θ(sinθ- cosθ) ] - ∫[0 ,π/4] (sinθ- cosθ) dθ
= 0 + [cosθ+ sinθ] = √2 - 1
よってV = 4 (r ＾3)｛(√2 - 1) + (√2 - 5/3)｝= (8√2 - 32/3) ・(r ＾3)　…(答)

490 名前：まぃ：2006/03/03 14:03

これ分かりますか？教えてくださぃ！
問い?
シュウ酸結晶H2C2O4・?H2O 6.3gを水に溶かし100mlの水溶液にした、このシュウ酸H2C2O4のﾓﾙ濃度求めよ。またこの溶液を10mlとるとその中にH2C2O4は何ﾓﾙ含まれるか。

491 名前：まぃ：2006/03/03 14:07

またまたあります(>△<;)

?98パーセント濃硫酸（密度1.84g/cm3）のﾓﾙ濃度

?12mol/l濃塩酸で比重が1.18の質量パーセント濃度
です。ﾖﾛしくお願いします。答えに確信がもてなくて…‥〃

492 名前：名無しさん：2006/03/03 14:14

>>490-491
あの～思いっきりスレ違いなんですけど。
ここは難関校の数学の問題を扱うスレです。
別のスレで質問してください。

493 名前：名無しさん：2006/03/03 14:56

http://study.milkcafe.net/test/read.cgi/situmon/1081853593/l50
↑これにどうぞ。

494 名前：元塾講師：2006/03/07 11:45

　このスレなかなか荒れないね。…ちょっと残念。

495 名前：元塾講師：2006/03/07 11:46

問52：
放物線y = 3/4 - x＾2をy軸の回りに回転して得られる曲面Kを、原点を通り回転軸と45°の角
をなす平面Hで切る。曲面Kと平面Hで囲まれた立体の体積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1983　東大）

496 名前：元塾講師：2006/03/07 11:49

解答１：
Kを表す式はy = 3/4 - (x＾2 + z＾2) 。また、平面Hをy = xとしても一般性は失われない。
この2つに囲まれた立体U｛( x , y , z ) │y ≦ 3/4 - (x＾2 + z＾2) かつy ≧x｝の、
平面y = x + k　[ k≧0]による切り口をxz平面に正射影して得られる図形の式は、
x + k　≦ 3/4 - (x＾2 + z＾2)　⇔　(x - 1)＾2 + z＾2 ≦1 - k
これはk ≦1のときに領域として存在し、その面積は(1 - k)π。
よって断面積の（正射影する元の）面積は(1 - k)π/ (cos 45°)
次にkが k + Δkに変化するとき、立体Uの断面積の移動量は、平面y = x + k　に垂直な方向
に、(cos 45°)×Δkであるから、この2平面で挟まれるU の（一部の）体積は
｛(1 - k)π/ (cos 45°)｝ ×(cos 45°)×Δk　= (1 - k)π×Δk　。
よって求める体積は V = ∫[0, 1] (1 - k)π dk = π/2 …（答）

497 名前：元塾講師：2006/03/07 11:51

解答1の解説：
教科書のV = ∫Sｄｋ という公式はあくまで、dV/dk から求められたということに注意しましょう。
解答1のようなパラメータ設定でVとkの関係を考えるときdV/dk = S ではないのですよ。
kの動きと断面Ｓの動く方向が異なることに注意して下さい。正しくはdV/dk = S×（1/√2）なの
です。あくまで、kがそこからΔk増加したことによる体積変化ΔVがどのようになるかを考えて立式す
るように。
なお解答中で「切り口をxz平面に正射影して得られる図形の式は」として、「切り口の図形の式は」
としなかったのは、確かに2図形の式を連立させれば、共有点（x , y , z）の情報が得られるが、
今回y を消去してx, z の関係式を得ただけであり、これは共有点（x , y , z）の動く図形を表す
というより、それのxz平面への足である点(x , 0 , z)の関係式といったほうが適切な為、全体と
して「切り口をxz平面に正射影して得られる図形の式は」と述べたものである。
x , z だけの関係式なので、これは共有点（x , y , z）が乗るべき図形を示すのではなく、単に
それを正射影した(x , 0 , z)が乗るべき図形の式を示すだけだということなのである。

498 名前：元塾講師：2006/03/07 11:53

解答2：
Kを表す式はy = 3/4 - (x＾2 + z＾2) また、平面Hをy = xとしても一般性は失われない。
この2つに囲まれた立体の、平面x = k　による切り口をyz 平面に正射影して得られる図形を
表す式は、y ≦ (3/4 - k＾2) - z＾2 …? かつ　y ≧ k …?である。　
?、?の境界の2式を連立させてz = ±√(3/4 - k - k＾2) を得る。（実数解として求まる
条件は 3/4 - k - k＾2 ≧0 ⇔ - 3/2 ≦k≦1/2）
このとき2実数解を±α　とおくと、この図形の面積は、
S =∫[-α, α] - (x -α) (x +α) dx = (1/6)・(2α)＾3 = (4/3)・(3/4 - k - k＾2)＾(3/2)
よって求める体積は、V = ∫[-3/2, 1/2] (4/3)・(3/4 - k - k＾2)＾(3/2) dk
= ∫[-3/2, 1/2] (4/3)・｛1- (k + 1/2)＾2｝＾(3/2) dk
ここでk + 1/2 = cosθ　とおくとk : -3/2 →1/2 のときθ:π → 0であり、
dk/dθ= - sｉnθ　, ｛1- (k + 1/2)＾2｝＾(3/2) = (sｉnθ)＾3 であるから、
V = ∫[π, 0] (4/3)・(sｉnθ)＾3 ・(- sｉnθ) dθ= ∫[0 , π] (4/3)・(sｉnθ)＾4 dθ
また、(sｉnθ)＾4　= ｛(1 - cos 2θ)/2｝＾2 = (1/4)・(cos 2θ) ＾2 - (1/2)・(cos 2θ) + 1/4
= (1/4)・｛(1 + cos 4θ)/2｝- (1/2)・(cos 2θ) + 1/4 = (1/8) cos 4θ- (1/2)・(cos 2θ) + 3/8
より、V = (4/3) [ (1/32) sｉn4θ- (1/4)・(sｉn2θ) + (3/8)θ] = (4/3)・(3/8)・π = π/2 …（答）

499 名前：元塾講師：2006/03/07 11:54

解答3：
Kを表す式はy = 3/4 - (x＾2 + z＾2) また、平面Hをy = xとしても一般性は失われない。
この2つに囲まれた立体の、平面z = k　による切り口は、この平面上で
y = (3/4 - k＾2) - x＾2 …? と　y = x …?　で囲まれる領域である。
?、?の2式を連立させてyを消去すると x＾2 + x - (3/4 - k＾2) = 0 (☆)これが実数解をもつ
のは（判別式） = 1 + 4・(3/4 - k＾2)≧0　⇔　-1≦k≦1のとき。
このとき2実数解をα,βとおくと、??で囲まれる面積は、
S =∫[α,β] - (x -α) (x -β) dx = (1/6)・(β-α)＾3
ここでα,βは(☆)の2解であるから解と係数の関係より、
α+β = -1 , αβ = - (3/4 - k＾2) よって(β-α) 2 =(α+β)2 - 4αβ= 4 - 4 k＾2
よってS = (1/6)・(4 - 4 k＾2)＾(3/2) = (4/3)・(1 - k＾2)＾(3/2)
以上より求める体積は、V = ∫[-1, 1] (4/3)・(1 - k＾2)＾(3/2) dk
ここでk = cosθ　とおくとk : -1 → 1 のときθ:π → 0であり、
dk/dθ= - sｉnθ　, (1 - k＾2)＾(3/2) = (sｉnθ)＾3 であるから、
V = ∫[π, 0] (4/3)・(sｉnθ)＾3 ・(- sｉnθ) dθ= ∫[0 , π] (4/3)・(sｉnθ)＾4 dθ
さて、(sｉnθ)＾4　= ｛(1 - cos 2θ)/2｝＾2 = (1/4)・(cos 2θ) ＾2 - (1/2)・(cos 2θ) + 1/4
= (1/4)・｛(1 + cos 4θ)/2｝- (1/2)・(cos 2θ) + 1/4 = (1/8) cos 4θ- (1/2)・(cos 2θ) + 3/8
より、V = (4/3) [ (1/32) sｉn4θ- (1/4)・(sｉn2θ) + (3/8)θ] = (4/3)・(3/8)・π = π/2 …（答）

500 名前：元塾講師：2006/03/07 11:56

全体の解説（解1～3を通して）：
立体の求積において、いくつかの平面での切り方が考えられるが、今回に限っては
回転軸に垂直な平面y = kで切った切り口は表現が複雑になる。（場合分けが必要で、また円の
一部の面積表示が必要になるから、円弧の中心角の設定とその角θでの置換積分を考えることに
なるが、計算が非常に難しいようである。）

501 名前：元塾講師：2006/03/07 11:58

補足：Kの式が分かりにくい人は次のように考えてください。これも断面で切って（パラメータ表示
して）考えます。
放物線y = 3/4 - x＾2と直線y = t の交点をQとし、またP（0 , t）とおく。
Kを平面y = t で切った切り口は、線分PQをy 軸のまわりに回転させて得られる円
であるから、この式は「x＾2 + z＾2 = 3/4 - t かつ y = t」　という円。
これが、K上の点のパラメータ表示の結果であり、ここからtを消去すれば、
x＾2 + z＾2 = 3/4 - y　　これがK上の点(x , y , z )　が満たすべき式である。

502 名前：名無しさん：2006/03/08 02:42

50問超えです!!!!
おつかれさまです。

>>494
でも、視聴率は非常に高いですよ。
これからも、お世話になります。

503 名前：479：2006/03/08 04:01

近年は出題されていませんが、たとえばこんな問題です。

平面上に２定点Ａ，Ｂをとる。ｃは正の定数として、平面上の点Ｐが
　｜ﾍﾞｸＰＡ｜｜ﾍﾞｸＰＢ｜＋ﾍﾞｸＰＡ・ﾍﾞｸＰＡ＝ｃ
を満たすとき、点Ｐの軌跡を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（京大　1999）

504 名前：479：2006/03/08 04:03

もちろん、座標平面を設定して定量的に解くのも可能ですが、
定性的に解くのが図形の醍醐味だと思っているので、
できるだけ数式に頼らずに、このような問題を解くやり方みたいなのも
提示していただければ…と思ったのです。

505 名前：元塾講師：2006/03/11 03:52

>>504
「定性的に解くのが図形の醍醐味だと思っているので、」
ここが、何を意味しているのかよく分かりませんでした。
あえて私が言うなら、「補助線、補助円、補助正三角形、補助正方形等の導入により、即効解決
というのが初等幾何の醍醐味」だと思っています。
ただ、いろいろな考え方があるほど面白いので、自由な発想、解釈は大歓迎です。別解があれば
どうぞ、いろいろ議論して皆さんで高めあって下さい。
ただ、高校入試問題を解くのならいざ知らず、図形の解釈で初等幾何のみばかりにこだわるのも
どうかと思います。代数幾何の方が実践的なことも多いので、どちらも鍛えておいて下さい。
そうしないと高校数学を勉強する意味がありません。（適度なこだわりは結構ですが。）
私もいわゆる初等幾何は好きでしたので、よく図形的な別解を考えていました。大学入試を解く
際に使う初等幾何的考察というのはごく初歩的なのであまり面白いのがないようです。暇が出来
れば、難関高校入試問題のスレも作ろうかな…。

506 名前：元塾講師：2006/03/11 03:54

なお、せっかく書いてくれた問題なので一応私なりに考えてみました。
私はまず、如何に左辺を整理して、条件式を扱い易いものにしていくかということを主眼にパラ
メータ設定をしました。479さんは左辺の量が図形的に何を意味するのかはすぐお分かりという
ことなのでしょうか。私は残念ながら、このような左辺の量をいかに表現して整理していくかと
いう「定量的な」解答しか思いつかなかったので、他に図形的な良い別解あればどんどん書きこ
んでください。私の為ではなく（そもそも、私には数学をする必要性も責任もないので）、
皆さんが高めあうように議論していただければと思います。

507 名前：元塾講師：2006/03/11 03:55

問題46.5 ：(問題46と1/2)
平面上に2定点A , Bをとる。ｃ は正の定数として、平面上の点Pが
　｜ベクトルPA｜｜ベクトルPB｜＋ベクトルPA・ベクトルPB = ｃ
を満たすとき、点Pの軌跡を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1999 京大）

ちなみに問題の確認はhttp://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html
で出来ます。

508 名前：元塾講師：2006/03/11 03:56

解答：
PA= x , PB = y とおき、∠APB = θとおくと、
三角形PABにおいて余弦定理より、x ＾2 + y ＾2 - 2 xycosθ = (AB長さ)＾2 = 一定　…?
また与えられた条件より、xy + xycosθ = c …?
? + 2×? より (x + y) ＾2 = c + (AB)＾2 　∴x + y = √｛c + (AB長さ)＾2｝ = 一定　…（☆）
これは点Pが２定点A, B を焦点とする楕円上を動くことを意味する。
逆に（☆）と?より、?が導かれるので、この楕円上の任意の点はPの存在領域たり得る。
よって求める軌跡は、（☆）で示されるような２定点A, B を焦点とする楕円（全体）。

509 名前：元塾講師：2006/03/11 03:57

解説：
解答の後半は軌跡に変域がつかないか、十分性を議論した部分であるが、
? かつ?⇔?かつ☆　という関係を指摘して、☆さえ成り立てば、題意の条件?は満たされ
るので、（?の前提のもとで）☆は?が満たされるための必要十分条件（☆は?と同値）であ
るということを述べたものである。軌跡、写像、置き換えに関しては、必要十分な対応を考え
て変域を考察しておくべきであることは既に何度も述べた。
なお、本問は1985京大理系1番のベクトルの問題（平面図形と式の問題？）の類題であるが、
1985の問題のほうがより面白い（いろいろと教訓を汲み取れる）問題なので是非取り組んで
おいてほしい。

510 名前：元塾講師：2006/03/11 04:01

突然のコラム（数学とは関係ありません。興味ない人は飛ばして下さい）：
私はこのスレでは基礎的で応用性のある解答、なるべく普遍性のある解答しか載せていません。
逆に自然に、普通にしか考えてこなかったので、受験数学程度であれば、今でも問題を容易に
解くことが出来ます。（ここ5年以上、数学に触れたこともなかったのですが）
そこで、この「自然な、素直な考え方」「論理的、合理的な考え方」というものを皆さんに知
っていただきたく、皆さんの手助けになればと思いこのスレを作ったわけです。というわけで、
そもそもあんまり技巧的で高度な解答は作れませんので悪しからず。（ただ、かつて私の解答
は他人から見て、逆に変わった解答、技巧的な解答と呼ばれることは多かったのですが…。
自分では素直に自然に解いているつもりですし、逆に市販の問題集の解答は、なんて不自然で、
ややこしいものが多いのだろうかとよく思っていた節はあります。）

なお、このスレは50問程度で高校数学の基礎的な考え方を理解してもらうつもりで書いたので
あって、あくまで解説が主であり、高校数学の解説の為の道具として問題を選んでおります。
従ってあまり特殊な問題は扱いません。はじめに問題ありきというのではなく、逆にはじめに
解説ありきという形で、テーマに沿って問題を選んでいるのです。
なので、解答を読むだけで勉強になりますと言っております。そして、究極的に、このスレ
全体を通してみれば私がテーマにしているのはただ1つのことにつきます。これはまた最後に
述べます。そして、このスレの本当の狙いは数学を教えることだけではありません。
（数学力を伸ばすことで培われるものが沢山あります。1つ目的を言うなら、このスレは今後
皆さんが、科学や哲学に取り組むにあたっての基礎になればと思っております。）

511 名前：元塾講師：2006/03/11 12:21

訂正：
>>508
「? + 2×? より (x + y) ＾2 = c + (AB)＾2 　∴x + y = √｛c + (AB長さ)＾2｝ = 一定　…（☆）」
→
「? + 2×? より (x + y) ＾2 = 2c + (AB)＾2 　∴x + y = √｛2c + (AB長さ)＾2｝ = 一定　…（☆）」

512 名前：元塾講師：2006/03/11 14:55

問53：
xy 平面にを準線y = -1 、点F( 0 , 1 )を焦点とする放物線がある。この放物線上の
点P( a , b )を中心として、準線に接する円Cを描き、接点をHとする。 a ＞2とし、円C
とy軸との交点のうちFと異なるものをGとする。扇形PFH（中心角の小さい方）の面積
をS(a) ,三角形PGFの面積をT(a)とするとき、
a→∞としたときの極限値lim(a→∞) T(a)/S(a) を求めよ。
（1989　東大）

513 名前：元塾講師：2006/03/11 14:59

解答：
a→∞として考えるので、a , bを十分大きい値として考える。
放物線の性質から、PF = PH = b + 1 。よって、三角形PGFは等辺b + 1の2等辺三角形。
Pから底辺GFに下ろした垂線をIとおくと、IF = b - 1であり、Iは底辺GFの中点になるから、
GF = 2 (b - 1) また、この三角形の高さはPI = a であるからT(a) = a (b - 1) 　。
次に角FPHをθとおくと、S(a) = (1/2)・(b + 1)＾2・θ　。
ここで、θについては、cosθ = IF/PF = (b - 1)/(b + 1) , sｉnθ= PI/PF = a /(b + 1)
が成り立っている。
以上より、T(a)/S(a) = 2｛(b - 1) /(b + 1)｝・｛a /θ(b + 1)｝　
　　　　　　　　　　　　= 2 cosθ・sｉnθ/θ
= 2( sｉn2θ/2θ)
ここでa→∞としたときa の関数(a の式)θについて、θ→0となるから、（sｉn2θ/2θ）→1
故にlim(a→∞) T(a)/S(a) = 2 　…（答）

514 名前：元塾講師：2006/03/11 15:01

解説：
ともかくS　、Tを表現しないと始まらない。Sは扇形の面積なので、それを表すには円弧の中心角θ
を設定しなければならない。勿論これはa によって決定させる量なのでa の関数。
あとはT(a)/S(a)をの関数としてどのように表現できるかだが、分母にθが入り、これをの式で
表記できない以上、逆にすべてをθというaの式の1まとまりで置き換えて表現することを考える。
量の扱いでのポイントは、「一媒介変数で（one parameterで）」式を（なるべくシンプルにな
るよう）表現しておくことである。問19の解説が言っているのもこのことであり、また、独立
多変数関数であっても高校数学では、文字固定を使いながら、まず1変数関数として式を扱う
（その後固定をはずしながら…）ことしか出来ないので、ともかく量の表現においては「一文
字の関数として表現する。その為になるべく式がきれいになるような、設定、置き換え、変換、
変形を考える。」というのがポイントになる。この考えは今までの問題（問題1の解答からして
この考え方が埋没されている）の多くに繋がっている基礎的な高校数学の考え方である。
尚、この考え方をはじめて体験するのは、2次関数の平方完成の所かも知れない。
x＾2 + x + 1 = ｛x + (1/2)｝＾2 + 3/4 と変形して最小値なりを求めるのは、
x＾2 + x + 1のままでは、x＾2とxという2つの動く部分があり考えづらいので、
変形してこの2つをまとめ（x + 1/2）という（新文字の）一変数の関数として
扱うという考えによる。
ここからこのような思想が読み取れているだろうか？東大数学が要求している
のはこの思想が徹底的に理解できているかということだろう。文字を多くした
り、複雑にしてカモラージされていることが多いがこの「one parameterで！」
という思考方法を高校数学では失わないように。

515 名前：名無しさん：2006/03/12 07:34

難しそうですが物凄く面白そうな問題ですね。
早く今月いっぱいまでに高校数学の範囲を一通り終わらせてこういう問題解こうっと。

516 名前：505：2006/03/13 16:26

>>506
解答ではありませんが、以下のように考えました。

A,Bは任意の2定点であるので、A=Bとすると
2PA^2＝cより PA＝一定
すなわちPは、中心A、半径√(c/2)の円を描く
一般的に円の定義を拡張したものが楕円であるので
求める軌跡はA,Bを焦点とする楕円と推測できる。

517 名前：505：2006/03/13 16:26

実際、AからPBに下ろした垂線の足をHとすると
（A,B,Pが一直線上にある場合はH=Aとする）
条件はPA・PB＋PH・PB＝ｃと書き換えられ、
PA+PB＝ｋ（>0）とすると
PA^2+PB^2+2PA・PB＝ｋ＾2
(PA^2-PH^2)+(PB-PH)^2+2PB・PH+2PA・PB＝ｋ＾2
AH^2+HB^2+2c=k^2
AB^2+2c=k^2
∴c=(k^2-AB^2)/2=一定
で条件を満たす。
これは十分条件に過ぎないが、式を逆にたどれば
Pがこの楕円上にあることも示せる、すなわち必要条件も
証明できる。
……幾何的でエレガントな解法としてはイマイチかもしれません。

518 名前：505：2006/03/13 16:51

あ、もちろん
c>0
となることは
c=(k+AB)(k-AB)=(k+AB)(PA+PB-AB)
と変形して、△PABについての三角不等式から自明です。

519 名前：名無しさん：2006/03/18 13:41

なんちゅう良スレ、、
>>0
これから全部見ます。すごいですねここ・・

520 名前：元塾講師：2006/03/18 15:11

>>516-518
拝読しましたが、論証が良く理解できませんでした。
考える過程としてはこのようなものは構いませんが、答案にして下さい。

521 名前：元塾講師：2006/03/18 15:13

今後の為と思って、いくつかアドバイスします、「一般的に円の定義を拡張したものが楕円である
ので 求める軌跡はA,Bを焦点とする楕円と推測できる。」　ここの意味がまずさっぱり理解でき
ません。もしPの軌跡が、A,Bを焦点とする楕円だと推測できたとするなら、PA + PB = 一定を示
そうとする方向性は良いと思います。しかし素直にこれを示すのなら、
（PA + PB）＾2 = PA＾2 + PB＾2　+ 2PA ・PB
= PA＾2 + PB＾2 + 2c - 2ベクトルPA・ベクトルPB 　〔∵条件式より〕
=│ベクトルPA - ベクトルPB│＾2 + 2c
　　　　　　　　=│ベクトルAB│＾2 + 2c
∴PA + PB = √｛│ベクトルAB│＾2 + 2c｝= 一定
とすれば済むことでしょう。（せっかく518の答案中にもAB^2+2c=k^2という箇所があったのに
…。）

522 名前：元塾講師：2006/03/18 15:15

次に、518の解答のようにH（垂線の足）を持ち出して表現するということは、余弦定理を使うこと
に他なりません。（余弦定理のそもそもの導き方を教科書で確認してみて下さい。）
ベクトルPA・ベクトルPB = PA・PB・cosθとすればHなど用いる必要はないでしょうし、そもそも
ベクトルPA・ベクトルPB = PH・PBというのはHが線分AB上にある時しか成り立たないので、正し
い式とは言えません。正しくない式で議論しても、それ以降はすべて無効です。
もう1つ、この式変形はいわゆる幾何的な解答とは言えないでしょう。余弦定理で簡単になる
式変形を、Hを持ち出して見通しの乏しいまま式変形しているだけのことで、
図形的性質を考察した解答とは言えません。

523 名前：元塾講師：2006/03/18 15:16

最後に感じたのは論証の筋が良く分からない（書いてる本人もわかってない？）ということです。
（何が仮定で、何が結論か。どれとどれを用いて何を示すかという方向性がありません。）数学
の答案としてはここが一番の問題です。見通しのある解答作りを考えてください。
ｃ＞0は問題の仮定条件として与えられているので、やはりここから出発するべきでしょう。
（c＞0は問題の条件として決めている以上議論する余地のないものとして用いてください。）
十分性の確認という意味で、これを示したつもりというのであれば、まともな論証が出来ており
ません。今回十分性の議論は、PA + PB = √｛│ベクトルAB│＾2 + 2c｝であるようなすべて
の点Pに対して(つまり楕円状のすべての点Pについて)、
｜ベクトルPA｜｜ベクトルPB｜＋ベクトルPA・ベクトルPB = ｃを示すというのが、十分性の
議論での焦点にならなければいけません。c＞0などは議論する余地なく使ってよい問題の仮定
（前提）条件です。

524 名前：元塾講師：2006/03/18 15:17

また3点P , A ,B で三角形ができるという保証がどこにあるのかも分かりません。
論証の仕方も論証の内容も間違いが多く、焦らずまず、もっと基礎的な、標準的な考え方を
学んで欲しいと思っています。全体としてアバウトな学習しかしていないという印象が答案
から伝わってきます。厳しいようですが、今後の成長を期待しての真剣なアドバイスです。
慌てず丁寧に。

525 名前：元塾講師：2006/03/18 15:19

問54：
z軸を軸とする半径1の円柱の側面でxy平面より上（z軸の正方向）にあり、平面x - √3 y + z = 1
より下（z軸の負の方向）にある部分をDとする。Dの面積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1976　東大）

526 名前：元塾講師：2006/03/18 15:23

指針：
どのようにパラメータをとって考えるかであるが、解答1のように軸に垂直に切ってそれを軸方向
に積分するという考え方でもできるが、この解答は問題50とほぼ同じ問題になり（問50とは体積
と面積、という違いはあるが）、つまらない。計算もやや大変。
ここでは円柱の側面量の表現でもっとも有効なパラメータの取り方を学習していただきたい。
やはり解答2を本解とすべき？

527 名前：元塾講師：2006/03/18 15:24

解答1：
図形D｛(x , y , z) │x＾2 + y＾2 = 1 かつ x - √3 y + z ≦1 かつ z≧0 ｝
の平面z = k （k ≧0)　による切り口Lを考える。これを表す式は
x＾2 + y＾2 = 1 かつ x - √3 y ≦1 - k であるから、図の太線部分（円弧）である。
〔図は略。0≦k≦1のときと1≦kのときの2つの場合に分けて図を添えるのが望ましいか。〕
但し円x＾2 + y＾2 = 1と直線x - √3 y = 1 - kが共有点を持つ条件は
（円の中心と直線の距離）≦（円の半径）　⇔　│1 - k│/ 2 ≦1　⇔　-1 ≦ k ≦3
であるから、k ≧0と合わせて、以下0 ≦ k ≦3　の範囲で考える。
Lの中心角を2θとおくと、Lの長さは2θであるから、求める面積はS = ∫[ 0, 3] 2θdk
ここで、図より、cosθ= (k - 1) /2 (= 円の中心と直線の符合を含ませた距離)　であるから、
両辺をk で微分して、(- sｉnθ)・dθ/dk = 1/2 　∴dk = -2 sｉnθ・dθ 　
また、k が0→3と変化するときθは2π/3→0と単調に変化するので、
S = ∫[ 0, 3] 2θdk = ∫[ 2π/3, 0] 2θ(-2 sｉnθ)・dθ = 4∫[ 0 , 2π/3] θsｉnθdθ
= 4 ｛[θ・(-cosθ)]　-∫[ 0 , 2π/3] (-cosθ) dθ｝
= 4 ｛π/3　+ [ sｉnθ] ｝ = 4π/3　+2√3　…（答）

528 名前：元塾講師：2006/03/18 15:28

解説：
この解答1の考え方については解説するまでもない。平面z = kで切った結果を積み重ね
て（sum = ∫して）、立体を再構成するだけのことである。
ところで、平面x - √3 y + z = 1より下（z軸の負の方向）にある部分は領域　
x - √3 y + z ≦ 1と表現されることはご理解頂けるでしょうか。
無限の広さをもつ、面f (x , y , z) = 0 により空間は2つの領域に分割される。
「上・下」というのはあくまで重力場での概念なので、（この世では鉛直下向きを下
と定義する。）相対的なものであり数学的（根源的）表現では
ない。さかさま向いて見れば上下は逆転する。
ではその2つの世界をもっと客観的に区別する性質は何であろうか。それが、式に
よる領域表現である（正領域と負領域という考え方）。
つまり境目を集合｛(x , y , z) │f (x , y , z) = 0｝とすれば、この境目に
よりをf (x , y , z)を正にする（x , y , z）の集合からなる世界と
f (x , y , z)を負にする（x , y , z）の集合からなる世界にスパッと分かれる
のである。
平面x - √3 y + z = 1により、空間図形上の点はx - √3 y + z ＜ 1　で表現
される領域と x - √3 y + z ＞ 1で表現される領域に2分されるのである。

529 名前：元塾講師：2006/03/18 15:30

解説の続き：
ではDを表すのはどちらの領域であろうか。上下だから…というのでは説明にならない、
上下などは視点を変えればひっくりかえるのである。この場合、ある基準点が正領域か、
負領域かを判断し、その基準点と同じ側か否かで求める点が正領域か負領域かを区別すれば良い
だろう。「こちらとかあちら」といっても、どこを基準にこちらかあちらかという基準点が必要
なのである。この世のすべては相対的なものなのだから。
基準点を原点（0 , 0 , 0）とすればこれはx - √3 y + z ＜ 1　の領域
（f (x , y , z) = x - √3 y + z - 1を負にする負領域）にあるからf (x , y , z) =0 を
境に原点と同じ側というのは負領域ということになる。　

530 名前：元塾講師：2006/03/18 15:33

解答2：
〔空間図形の見取り図（図1）とxy平面上での円x＾2 + y＾2 = 1と（平面x - √3 y + z = 1と
xy平面の）交線x - √3 y = 1の図（図2）を添えて…。〕
円周x＾2 + y＾2 = 1上の点A ( 1 , 0) を出発して、中心角でθだけ進んだ点をBとおくと、
弧ABの長さ　=θ で、またB (cosθ , sｉnθ) である。Bから円柱の側面に沿ってz軸正方向
に進んだ直線と平面との交点をCとおくと、BC = (C のz座標) = 1 - cosθ + √3 sｉnθ。
θの微小変化に伴う側面積Sの増加量を考えてdS = (1 - cosθ + √3 sｉnθ) dθ
また、図2より、0≦θ≦4π/3であるから
S = ∫[0 , 4π/3] (1 - cosθ + √3 sｉnθ) dθ = [θ - sｉnθ- √3 cosθ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　= 4π/3　+ 2√3　…（答）

531 名前：元塾講師：2006/03/18 15:35

解答2の解説：
円柱の側面の測り方については知っておくべき量の測り方がある。
それは、底面（円）の中心角をパラメータとする測り方である。これはθを横軸として展開図を書く
ことといっても良い。私はこのスレの至るところで文字式において、文字をパラメータとして見る
ことで関数としての考え方を適用していくこと。そして、パラメータの式を改めて新しいパラメータ
でおきかえることによりシンプルな式解釈を目指すべきことを述べてきた。
これは問1の解答1から始まってここまですべての問題で私がテーマにしてきた高校数学の思潮である。
各問題でその置き換えの呼吸みたいなものを伝えた。
パラメータの設定というこの始まりが如何に大きなものか（求積で言えばどの平面で切って考えるか
といってもよい）ということを肝に銘じて欲しい。

「あなたが測るその同じ測りで、あなたも測られるであろう」　　（新約聖書？）
これは主に人間の測り方についての考えであるが、愛をもって接し、愛をもって報いられる
そのような人類社会はいつの時代に可能なのでしょうか？
君達の世代において人類がそこまで進歩するかは分からないが、君達の力による進歩を祈る
次第である。

532 名前：元塾講師：2006/03/18 16:10

>>531 補足
現代の人間が退化しているのではなかろうか？　という危惧からの
ぼやきでした…。
少しオヤジくさかったかな。申し訳ない。

533 名前：元塾講師：2006/03/22 10:48

問54の類題：
xyz空間において、x軸と平行な柱面A = ｛( x , y , z ) │y＾2 + z＾2 = 1 , x , y , z は実数｝
から、y軸と平行な柱面 B = ｛( x , y , z ) │x＾2 - √3xz + z＾2 = 1/4 , x , y , z は実数｝
により囲まれる部分を切り抜いた残りの図形をＣとする。図形Ｃの展開図をえがけ。ただし、
点(0 , 1 , 0)を通りx軸と平行な直線に沿ってＣを切り開くものとする。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1992　東大）

534 名前：元塾講師：2006/03/22 10:50

解答：
Ｃの式はy＾2 + z＾2 = 1かつ x＾2 - √3xz + z＾2 ≧ 1/4
この上の点（t , cosθ , sｉnθ）について考える。尚θは図形Ｃの展開図を描いたときの、
点(0 , 1 , 0)を通りx軸と平行な直線からの横軸の距離（座標）を表す。このとき、縦軸の座標
はt であるから、t の変域が展開図の上での、θの位置での図形Ｃの存在領域を示すことになる。
t＾2 - (√3sｉnθ) t + sｉnθ＾2 ≧ 1/4　を満たすt を求めて、
t≧max｛sｉn(θ+π/6) , sｉn(θ-π/6)｝ or t ≦min｛sｉn(θ+π/6) , sｉn(θ-π/6)｝
これをθ〔0≦θ≦2π〕を横軸、t を縦軸とする平面に図示して、図形Cの展開図を得る。（図は略）

[　t の2次方程式　t＾2 - (√3sｉnθ) t + sｉnθ＾2 = 1/4の解は公式より
t = (√3/2) sｉnθ ± (1/2)│cosθ│
= (√3/2) sｉnθ + (1/2) cosθ or (√3/2) sｉnθ - (1/2) cosθ
= sｉn(θ+π/6) or sｉn(θ-π/6) であることに注意。 　　 ]

535 名前：元塾講師：2006/03/22 10:51

解説：問54指針の後半参照。

536 名前：元塾講師：2006/03/22 10:52

補足：
x＾2 - √3xz + z＾2 = 1/4 …?　はxz平面上でどんな図形を表すかお分かりでしょうか？
x , z についての2元2次方程式なので2次曲線（楕円、双曲線、放物線）のどれかでしょうが。
これを分かりやすい標準形にするには、軸がx 軸またはz 軸に平行になるまで回転すれば良い
でしょう。今はx , z に関し対称なので（直線z = x に関し対称なので）45°回転させれば
軸がx 軸またはz 軸に平行になり、2次曲線の標準形が得られる。

537 名前：元塾講師：2006/03/22 10:55

すなわち、
『図形?を原点を中心に角θ回転さて得られる図形を考える。
? 上の点（x , y）がこの回転移動により点（X , Y）に移るとすると、
ベク（X , Y）= R(θ) ・ベク（x , y） ⇔　ベク（x , y）= R(-θ) ・ベク（X , Y）　（※）
これを（x , y）が満たすべき式?に代入して
(X cosθ+ Y sｉnθ)＾2 -　√3 (X cosθ+ Y sｉnθ) (- X sｉnθ + Y cosθ) + (- X sｉnθ + Y cosθ) ＾2 = 1/4　…?
これは点（X , Y）が乗る図形の式を表すが、変換式（※）より点（x , y）が?上をくまなく動くとき、
特に点（X , Y）の?上での動きに制限はつかないので、点（X , Y）の軌跡は?全体といえる。
ここで?の右辺のＸＹの項の係数は　-√3｛(cosθ) ＾2 - (sｉnθ) ＾2｝であり、
θ= π/4　のときを考えるとこの係数は0となり、?は
(4 + 2√3)・X＾2 + (4 - 2√3)・Y＾2 = 1 と整理される。つまりこのとき?は
原点を中心とし、長半径(√3 + 1)/2 , 短半径(√3 - 1)/2　の楕円である。
以上をまとめて振りかえってみるに、?はこの楕円を - 45°回転させたものである。』