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みんなで難関大数学を攻略しよう！
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33 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/18 11:43
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（１）背理法で示す。
xリットルの水が入っていたビーカーが水の量が増加しないまま残るとすると、ビーカーが３つ
になた時点で、他の２つのビーカーは(a)(b)の操作によって選ばれる（１つにまとまる）とい
うことなので、共にxリットル以下である。このときの水の量は合計３ｘリットルとなり１リッ
トル未満になるので題意に反し矛盾。 ∴示された。
（２）背理法で示す（以下の（α）（β）の仮定のようなとき、矛盾が生じることを示す。）
（α）ｘリットルの水が入っていたビーカーが途中で取り除かれたとすると、取り除かれる
時点の操作で、ｘリットル以上の水のビーカーが他に２つ以上あることになり、この時点
の水の量は合計３ｘリットル（＞6/5）となり、１リットルを超えるので矛盾。
（β）xリットルの水が入っていたビーカーが最後まで残って、水の量が増えているとする
と、この水が加えられるという操作の時点で、他にｘリットル以上の水の量のビーカー
（これをビーカー甲とおく）が存在し、その他に1- 2x リットル以下のビーカーも
１つ以上存在したことになる（水の量の合計は１リットルなので）。
ここでもともとこのビーカー甲が存在していたわけではないのだから、これは
操作(a)(b)によって、それ以前に作られていたことになる。そもそも
操作(a)(b)によって選ばれるのは、その時点で水の量が少ない２つのビーカー
であるから、共に1- 2x リットル以下であるはず。このような２つのビーカー
を合わせてｘリットル以上の水の量のビーカーを作るので、
2(1 - 2x ) ≧x ⇔ x≦2/5が必要である。 しかし、これは題意に反し矛盾。
∴示された。