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みんなで難関大数学を攻略しよう！
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249 名前：元塾講師：2005/10/05 11:15
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ここで一般にnCk = nCn-k であるから、
K = Σ（a = 0～n）｛nCa（n+1Ca+1 + n+1Ca+2 + … + n+1Cn+1)｝
= Σ（a = 0～n）｛nCn-a （n+1Cn-a + n+1Cn-a-1 + … + n+1C0)｝
= Σ（n-a = n～0）｛nCn-a （n+1Cn-a + n+1Cn-a-1 + … + n+1C0)｝
= Σ（k = 0～n）｛nCk （n+1Ck + n+1Ck-1 + … + n+1C0)｝ 〔 n-a =k とおいた〕
= Σ（a = 0～n）｛nCa（n+1Co + n+1C1 + … + n+1Ca)｝ 〔k→aとおきかえた〕
よって、
Σ（a = 0～n）｛nCa（n+1Ca+1 + n+1Ca+2 + … + n+1Cn+1)｝
+ Σ（a = 0～n）｛nCa（n+1Co + n+1C1 + … + n+1Ca)｝
=Σ（a = 0～n）｛nCa（n+1Co + n+1C1 + … + n+1Cn+1)｝
=Σ（a = 0～n）｛nCa（2＾(n+1))｝ = 2＾(n+1)Σ（a = 0～n）nCa 〔∵二項定理〕
= 2＾(n+1)・2＾n = 2＾(2n+1) ∴2K = 2＾(2n+1) ∴K = 2＾(2n)
求める確率は、（☆）より、（1/2）＾(2n+1)・K = 1/2 （答）