NO.10399077
天才の離れ孤島：水道橋校
-
127 名前：名無しさん：2005/05/26 12:01
-
とりあえず、問１・問２
問１
コーシー・シュワルツの不等式より、
(x^2+4y^2+9z^2)(x^4+y^4+z^4)≧(x^3+2y^3+3z^3)^2
ここで、問題の等式より等号成立の場合なので、正であることを加味して、
x:y:z=1:2:3を得る。x=k(＞０)として等式に代入し、k=1。
よって(x,y,z)=(1,2,3)
問2
※点x,yにおいて、xyとは、点xと点yの距離を表す。
ある点A、および、AB=αである点Bを仮定する。
このαとは、lim[x→1]α-x=0となる正の実数αである。
さてここで、点A,Bをそれぞれ中心とする円C,Dを考えると、
次に条件を満たす点は、点集合「円Cの内点∩円Dの〃」（★）
に属していなければならない。
円C,Dの境界点の点集合の共通範囲は二つの点であり、
それをE,Fと定め、線分ABの中点をMとすると、
ピタゴラスの定理より、EM=√3/2である。
（AE=1、AM=1/2より、1^2-(1/2)^2=√3/2。距離は＞0である）
点E,Fは円C,Dの内部の点の集合の境界点であるから、
★に属する任意の点Gについて、
EG＜ε、(ε＞0と仮定)となるように定めれば、
lim[x→√3/2]EM-EG=0である。
すなわち線分ABの中点Mを中心とする、半径√3/2の円の内部
の点は、点集合★を包む。 （証明終）