NO.10389757

0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

688 名前：元塾講師：2008/06/26 10:49

>>663
解答をよく読んで下さい。解答のポイントは同じような内容の繰り返しに過ぎないのでは
ないでしょうか。
受験数学が結局はパターン暗記であると言い切る人もいるし、いやいややはり基礎事項を
応用する発想力が必要だという人もいると思うけど、どちらも真実かも知れません。
ここらの感覚は説明できるものではなく、人から教えられるようなものではないので自分で
実感として感じとらないと分からないでしょう。解答をよく読めば、どういう重要事項、
基礎事項が結局のポイントになるのかまで分解できるでしょう。過去問の解答を単なる答え
あわせに使うのではなく、必要なら自分の手で追体験し、また自分の方法でアレンジを加えたり、
解答を元に考える訓練もして欲しい。そうすると解答の自分なりの本当のポイントが
１つか２つみつかるはずである。逆に言えば受験数学レベルではポイントになるのは結局１つか
２つの基礎事項に過ぎないと思いますよ。（ポイントだらけに感じるようであれば明らかに
基礎力不足と思うので、チャート式など（＝ぼくらの時代であれば）の基礎問題集をやり直すこと
を勧めますが）
このような経験を通して、基礎事項をどのような場面で使うかを熟知していくことで、たくさんの
問題が１つにまとまっていくと思いますよ。

689 名前：元塾講師：2008/06/26 11:12

例えば相加平均≧相乗平均の関係を勉強をしたとして、これがm + 1/m , (a/b) +(b/a) とかの
積が一定の形の数式を評価するときに使えるということを学んだとしても、これはもっと発展させて、
m + 1/m^2 の評価にも使えるし(=m/2 + m/2 +1/m^2 という積が一定の形に持っていくのは大丈夫ですね？)、
問１のような分数式にまで使えることを認識しているかどうかが大切になります。
知っているだけでなく、使いこなせるかを常に自分に確認するようにすれば、問１の解答、問27でも使えたし、
その他にも登場させられるでしょう。また今年の東大４番の式も典型的な使いどころです。　
その次に関数の凸性を利用した不等式評価を学習しました。過去問を見ただけでもたくさんのこれに関する
問題が見つかります。相加平均≧相乗平均の関係もこれから導かれことも含めて考えれば、さらに問題を
統一的に捉えることが出来るようになると思います。このように横断的学習をしていけば、まったく違う
単元、分野の問題でも同じように感じられてくる部分が多々感じられると思います。
それでもどうしても以前の問題に結びつかないとすれば、それは才能の問題になるのかも知れませんが
これくらいは無視してもよいでしょう。どのみちほとんどの人が出来ないでしょうし、受験に合格するのに
満点はいらない、せいぜい7－8割とれれば十分でしょうから。

690 名前：元塾講師：2008/06/26 11:14

同じひとつの基礎事項でも数学の得意な人にはかなり幅広い場面で使えるのである。
逆にいえばいろいろな問題もおんなじひとつの重要事項に集約されていくのである。
これも、こんな場面でも使えるのかという経験と、実際どんどん使ってやろうという
積極的な態度の賜物かもしれない。
数学の苦手な人にとって、あんまり見なれない問題、突拍子の問題に感じても、
数学になれている人にとってはじきに今までとおんなじ問題に見えてくるものである。
過去に取り組んだ部分との重なりにすぐに気づくのである。（これを応用力と呼ぶべきか、
パターン暗記と呼ぶべきかは分からないけど、少なくとも才能はあんまり関係ないと思うが・・・。）
そのための準備としては、基礎事項を単に知っているだけでなく、
どのような場面でどのように使えるのかまで含め、自分に認知させていく作業が必要と考える
これはいろいろな問題にあたり解答を素材にじっくり研究すること、別解を考える習慣をつけること
などで把握できるものだと思う。
一つの学習指針を示すと、「解答のポイントを一言で自分なりにまとめる」訓練が役立つかも知れない。
がんばれー！！

691 名前：元塾講師：2008/06/26 11:16

>>251
「これまでの存在はすべて、自分自身を乗り越える何物かを創造してきた。あなたがたは
この大きな上げ潮にさからう引き潮になろうとするのか、人間を克服するよりもむしろ
動物にひきかえそうとするのか？　　人間は克服されなければならない或者なのだ。」　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Friedrich Nietzsche）

692 名前：名無しさん：2008/06/26 13:04

無理せず、週１でいいので顔出して下さい(>_<)

693 名前：名無しさん：2008/06/26 17:08

復活に感動。
そして、軽く僕の質問にも答えてもらえた上に、哲学を語っていただいて
もう最高ですね。
塾講師さんはまたしばらくこなくなっちゃうのかな？
まあいいや質問です。問４３は正射影を使わずにとけるんでしょうか？

694 名前：名無しさん：2008/06/26 17:21

あと、もうひとつ質問をお願いします。
数学的じゃない質問でくだらないんですがすいません。
塾講師さんが>>689でおっしゃってる相加相乗は
m/2+m/2+1/m^2≧3(m/2・m/2・1/m^2)^(1/3)
ですよね？　3項の相加相乗は受験のとき解答に使って良いんですか？

695 名前：名無しさん：2008/06/27 01:11

おぉ！
復活していらっしゃる！！

696 名前：675：2008/06/27 17:34

>>675
おお！　にわかとはいえ、復活ですか。
健康でも害されているのか、と少し心配でした。

今年の東大の問題については、>>671に少し書きましたが、
５番については触れてなかったので、簡単に寸評。
(1)については、だいたいの人が「帰納法で示せそう…」と考えると思うので
それを信じて最後まで遂行する意志と、何気に10^(3^p)あたりで
指数法則の計算を間違えないことが重要。
絶対に帰納法で示せるはず、と信じて実行すれば、東大受験者なら普通に示せるはず。

(2)が、(1)の流れで解くと、元塾講師さんの>>684,>>685のように
やや面倒なことになるので、相対的にはやや難しい。
実は、(1)と(2)は別問題と開き直って、方針も替えてしまうと意外に簡単。
元塾講師さんの復活祝いに、(2)の別解を書いておきますね。

697 名前：675：2008/06/27 17:47

>>681 練習問題４(2)の別解：
10^n=(1+9)^nと見て、２項定理を利用する。
分母の9がある分、余裕を見てmod 243（=27×9）で考えると
(1+9)^n≡1+n×9+n(n-1)/2×9^2（mod 243）であることに注意する。
〔n〕≡(10^n-1)/9≡(n×9+n(n-1)/2×9^2)/9≡n(9n-7)/2（mod 27）
27と2が互いに素であることと、9n-7と3が互いに素であることに注意すれば
〔n〕が27の倍数⇔2×〔n〕が27の倍数⇔n(9n-7)が27の倍数⇔nが27の倍数
が直接示せます。

698 名前：675：2008/06/27 17:56

お粗末さまでした。
(2)は27（=3^3）の倍数であることを示すだけでいいと割り切れば
(1)の3^mで割り切れる条件などは過剰な条件である、と判断して
mod 27で（分子だけ見ればmod 243で）必要な部分だけを
２項定理で切り出せば良さそうと気づきます。
とはいっても、制限時間内で、(1)と(2)で方針を使い分けるなどは
よほど時間と心の余裕がないとできない芸当だと思うので、>>684,>>685の
解法が普通だと思います。

あと、>>678の
>逆変換を持つ一次変換が直線を直線に写すことは当然としてもよいと思う
の部分は、今のカリキュラムだとちょっと厳しいかも。
一次変換で像を考える問題は、今のカリキュラムではこの東大の問題が最初
といっても過言ではない状況ですからｗ
一応、直線をパラメータ表示して、マジメにfに代入する方が
今のカリキュラムには合ってるんじゃないかと思います。

699 名前：名無しさん：2008/06/29 09:15

☆ チン　〃∧＿∧
　＿＿＼(＼・∀・)　＜あれを、こ～して、あ～すれば…
＼＿／⊂　⊂＿ )
／￣￣￣￣￣￣ ／
￣￣￣￣￣￣￣　
　青森のりんご ／

700 名前：名無しさん：2008/06/29 09:16

☆ チン　〃∧＿∧
　＿＿＼(＼・∀・)　＜あれを、こ～して、あ～すれば…
＼＿／⊂　⊂＿ )
／￣￣￣￣￣￣ ／ ；
￣￣￣￣￣￣￣　
　青森のりんご ／

701 名前：名無しさん：2008/06/29 11:17

∫[0～π]e^(-sinx)dx＜π(1-1/e)
を示してくださいm(_ _)m

702 名前：名無しさん：2008/06/30 05:12

>>701
このスレは、元塾講師さんがいらっしゃらない時は基本的に
過疎スレだから、質問は↓のスレで聞く方が反応が早いと思うぞ。

http://study.milkcafe.net/test/read.cgi/situmon/1209996480/l50

まあ、これだけでも何だから、簡単にだけ。
y=e^(-sinx)のグラフはx=π/2に関し線対称だから
∫[0～π]e^(-sinx)dx=2∫[0～π/2]e^(-sinx)dx
あとは、0<x<π/2の範囲でy=sinxのグラフが上に凸であることから
(2/π)x<sinxが成立することに注意して
2∫[0～π/2]e^(-sinx)dx<2∫[0～π/2]e^(-(2/π)x)dx
と上から押さえれば、右辺の積分値がπ(1-1/e)

∫[0～π]e^(-sinx)dxを下から押さえるのならいろんな方法が
考えられるが、上から押さえるのはグラフの凸性から
方法がかなり限定されるので、言い換えれば、そのこと自体がヒント。

703 名前：名無しさん：2008/10/06 15:07

最近本当に過疎ってしまったな
俺はここで全問コピーして勉強させてもらった。
だけど、最近大学への数学の学コンのもんだいをみて挫折した。
頭の中で扱える情報量を余裕でこえてるからすぐに混乱する。
ましてや、宿題なんて・・・

704 名前：名無しさん：2008/10/23 18:22

国士舘レイプ事件　

濱野貴容疑者(DF・21・83・05・28・178.69.政3・習志野)
瀧章人容疑者(FW・20・84.01.29・182.76.政3・大野)
山本浩己容疑者(FW・21・83.04.11・182.72.政3・清水商業)
村山拓也容疑者(DF・21・83.05.09・181.69.体3・静岡学園)
榎本貴士容疑者(DF・21・83.07.03・173.68.体3・習志野)
土屋壮志郎容疑者(DF・21・83.05.20・180.75.体3・日大三島)
小林右季容疑者(FW・21・83.09.01・168.63.体3・国士舘)
宮木明容疑者(MF・20・84.01.25・177.65.体3・習志野)
菊池和人容疑者(FW・21・83.05.11・179.73.体3・秋田南)
御園真人容疑者(FW・21・83.06.22・189.87.体2・習志野)
谷津陽介容疑者(20・ア3・向上)
笹川哲史容疑者(MF・21・83.04.02・165.54.ア3・京都学園)
関智恭容疑者(MF・20・184.04.10・173.70.ア1・保善

705 名前：名無しさん：2008/10/26 16:43

荒らすなよ、神スレなんだから

706 名前：名無しさん：2008/10/27 09:53

ゴミ スレ

707 名前：名無しさん：2009/02/11 23:05

ひとまず問題の1～10までをPDF化してみました。
解説は入れていません。レスを読んで手を動かして自分でノートを作ってください
特に需要は無いかもしれませんがよろしければどうぞ。

ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1234393388

708 名前：↑：2009/02/12 13:54

ＧＪ(^ω^)ｂ

709 名前：あ：2009/06/30 11:44

関数f(x)は任意のx,yに対し　関係式f(x+y)=f(x)f(y)を満たしている
x=0で微分可能でf'(0)=c(c≠0)であるとする
このとき、f(x)は任意の実数xに対し微分可能であることを示し、f'(x)をf(x)とcを用いて表せ


これ教えてーー

710 名前：ぶら：2009/08/07 10:02

f(x+y)=f(x)f(y) ・・・(*)
(*)でx=y=0とすればf(0+0)=f(0)^2
よってf(0)=1 or 0

ところでf'(0)=lim(h→0) (f(0+h)-f(0))/h
=lim(h→0) (f(0)f(h)-f(0))/h　((*)でx=0、y=hとする)
=lim(h→0) f(0)(f(h)-1)/h
ここでf(0)とすればf'(0)=0となり、c≠0の条件に反するので、
f(0)=1

ここでlim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h
=lim(h→0) f(x)(f(h)-1)/h　（(*)でy=hとする）
=f(x) × lim(h→0) (f(h)-1)/h
=f(x)f'(0)=cf(x)
よってf(x)は任意の実数xに対して微分可能で、f'(x)=cf(x)

711 名前：名無しさん：2009/09/02 15:22

神よ２００９年東大理系も頼みます

712 名前：名無しさん：2010/02/10 15:31

http://www.digisbs.com/tv/news/movie_s/20100210000000000046.htm
（SBS動画ソース）
重機窃盗容疑で男を送検
三島市内の資材置き場から建設用の重機など合わせて５台を盗
んだとして窃盗の疑いで逮捕されたグループのうち、駿東郡清
水町徳倉の建設作業員、柳沢瞬容疑者（２６）の身柄が１０日
、静岡地検沼津 支部に送られました。
　三島警察署などの調べによりますと、容疑者は既に逮捕され
ている他の３人とともに、昨年１０月１８日の未明、三島市内
の建設会社の資材置き場からミニショベルなどの重機２台と車
両３台など合わせて９００万円相当を盗んだ疑いが持たれてい
ます。
　警察ではほかにも数人の共謀者がいる組織的な犯行とみて
、背後関係や余罪について捜査するとともに、現場周辺の建設
会社の資材置き場などでは建設重機の窃盗事件が相次いでいる
ことから関連についても調べる方針です。

713 名前：元塾講師：2010/07/18 11:04

久しぶりにこのスレに問題を載せておきます。
来年から仕事の関係で転勤することになり、少しばかりは自由な時間が持てそうなので、
せっかくの受験数学とのお付き合いを続ける意味で、某予備校の非常勤講師採用に応募をしました。
一応筆記試験があるとのことでしたので、準備がてらに最近の過去問を解いてみましたが、
その中で、なかなか面白い教訓的な（今まで扱った問題に共通するテーマに関わる）問題がありましたので、
今回ひさしぶりに取り上げてみることにしました。
非常勤講師のほうは、筆記試験はパスしましたが、模擬授業もあるとのことでどうなるかわかりませんが、
もし、講師に採用されたらいつかここで扱った問題、テーマを再編集し、整理、追加し、参考書として出版
できればいいかと考えています。（需要あるかしら？）
できなくても、ここを見て勉強する学生が少しでもいて、将来の科学技術を支える人材が少しでも出てくれた
らという思いで思いで書いてみます。

714 名前：元塾講師：2010/07/18 11:07

わが兄弟たちよ、言うがよい、私たちにとって劣悪、もっとも劣悪なことだと思われるものは何だろう？
それは退化ではないか？　―　そして贈り与える心が欠けているのを見ると、私はいつもそこに退化があると、
推測する。　私たちの道は上昇する。種から超種にのぼって行く。「何もかも自分のため」という退化の心境
こそ、私たちは恐怖である。
そうだ、わが兄弟たちよ、わたしにはよくわかっている。あなたがたも私と同じように、贈り与える徳に
いたろうと努めていることが。猫や狼の性とは、何の共通するところもない。あなたがたの渇望は、
すすんで犠牲となり、贈り物になりたいということだ。さればこそ、あなたはすべての富を、心の中に積もう
という渇望を持つわけだ。
飽くことなくあなたがたの心は宝や宝玉を得ようと努める。それもあなたがたの徳が、贈り与えようとする
意志において、飽くことを知らないからだ。
あなたがたはあらゆる物を自分のほうへ、自分のなかへ、と強引に取りこむ。それもそうしたものが、
あなたがたの泉から、あなたがたの愛の贈り物としてふたたび流れ出すためなのだ。
そうだ、こうした贈り与える愛は、一切の価値を強奪するものとならなければならない。
しかし、この我欲を、わたしは健康で神聖なものと呼ぶのである !

/ ニーチェ　「贈り与える徳」　より

715 名前：元塾講師：2010/07/18 11:11

練習問題５
平面上の2 点P, Q の距離をd( P, Q)と表すことにする。平面上に点O を中心とする1 辺の
長さが1000 の正三角形△A1A2A3がある。△A1A2A3の内部に3 点B1 , B2 , B3を, d( An , Bn ) = 1
( n = 1, 2, 3) となるようにとる。また,
ベクトルa1 = ベクトルA1A2 , ベクトルa2 = ベクトルA2A3 , ベクトルa3 = ベクトルA3A1
ベクトルe1 =ベクトル A1B1 , ベクトルe2 = ベクトルA2B2 , ベクトルe3 = ベクトルA3B3
とおく。n = 1, 2, 3のそれぞれに対して, 時刻0 にAnを出発をし, en の向きに速さ
1 で直進する点を考え, 時刻t におけるその位置をPn( t )と表すことにする。

(1) ある時刻t でd( P1( t ), P2( t ) )≦1が成立した。ベクトルe1 - e2 と, ベクトルa1
とのなす角度をθ とおく。このとき｜sinθ ｜≦1/1000　となることを示せ。

(2) 角度θ1 , θ2, θ3をθ1= ∠B1A1A2 , θ2 = ∠B2A2A3 , θ3= ∠B3A3A1
によって定義する。α を0＜α＜π/2 かつsin α = 1/1000 を満たす実数とする。
(1)と同じ仮定のもとで, θ1 + θ2 の値のとる範囲をα を用いて表せ。

(3) 時刻t1 , t2 , t3のそれぞれにおいて, 次が成立した。
d( P2( t1 ), P3( t1 ) )≦1 , d( P3( t2 ), P1( t2 ) )≦1 , d( P1( t3 ), P2( t3 ) )≦1
このとき, 時刻T = 1000/√3 において同時に
d( P1(T ), O)≦3, d( P2(T ), O)≦3 , d( P3(T ), O)≦3
が成立することを示せ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2009 　東大理系）

716 名前：元塾講師：2010/07/18 11:14

解答
(1) ある時刻tにおいて、ベクトルA1P1(t) = t・（ベクトルe1） ,
ベクトルA2P2(t) = t・（ベクトルe2）⇔　ベクトル　A1P2(t) = ベクトルa1 + t・（ベクトルe2）であるから、
ベクトルP1P2 = ベクトル　A1P2　－　ベクトルA1P1
　　　　　　= ベクトルa1 + t・（ベクトルe2 －ベクトルe1）
ここに、直線L: ベクトルx = ベクトルa1 + t・（ベクトルe2 －ベクトルe1）は
ベクトルa1 であらわされる点を通り、 （ベクトルe2 －ベクトルe1）を方向ベクトルとする直線であるから、
｜ベクトルx｜　すなわち直線上の点と原点との距離　の最小値は、原点から直線Lに 下ろした垂線の長さであり、
図より　｜ベクトルa1｜｜sinθ｜= 1000 ｜sinθ｜
よって、すべてのt に対しd(P1 , P2 ) ＝｜ベクトルP1P2｜≧1000 ｜sinθ｜であるから、題意のとき　
1≧1000 ｜sinθ｜ ∴　｜sinθ｜≦1/1000

717 名前：元塾講師：2010/07/18 11:16

解説（1）：
d(P1 , P2 ) ＝｜ベクトルP1P2｜を考える場合、ベクトルP1P2をベクトルで表現していくと、
ｔをパラメータとした直線の方程式を表すことが分かるであろう
したがって、d(P1 , P2 ) ＝｜ベクトルP1P2｜がｔが変化していく中での取りうる値は、
図形的に視覚化でき、原点と直線との距離　以上で変化するのは明らかだろう。
今まで述べた、“式は図形を表し、図形は式で表現される”　という視点を常に意識していれば
簡単に考えられる。これは何もベクトル分野（代数幾何分野）に限らず、問題２１、２２、２３
のように微積分野（グラフ分野）でももちろん常に持っていなければならない考え方である。

718 名前：元塾講師：2010/07/18 11:20

解答
(2) ベクトルe1 とベクトルa1 のなす角はθ1であり、－(ベクトルe2) とベクトルa1 のなす角
は∠A1A2P2 = π/3 －θ2 。　ただし、この２つのベクトルの方向は直線A1A2について対称
の方向をもつので、ベクトルe1　と－(ベクトルe2)　のなす角は　φ= θ1 + (π/3 －θ2) である。
この２つの単位ベクトルの和である（ベクトルe1 －ベクトルe2）は、２つのベクトルのなす角を
２等分する方向を表すベクトルであるから、ベクトルe1　と　（ベクトルe1 －ベクトルe2）
　のなす角は φ/2である。
従って図よりベクトルa1 と（ベクトルe1 －ベクトルe2）のなす角は
　｜θ1－φ/2 ｜=　｜(θ1 +θ2) －π/3 ｜/ 2 。これは（1）の｜θ｜のことであるが、(1)より
｜sinθ｜≦1/1000　= sinα　⇔　｜θ｜≦α であるから、｜(θ1 +θ2) －π/3｜/2 ≦α
∴π/3 －2α≦(θ1 +θ2)≦π/3 ＋2α　……（答）

719 名前：元塾講師：2010/07/18 11:22

解説(2)：当然、（１）を使うのでしょうから、θをθ１、θ２で表すことを考えましょう。
辺A1A2 を基準に考えるとベクトルe1 , ベクトルe2の方向は決まっているのだから、
図を良く見て、どの角度が辺A1A2　とベクトルe1－ベクトルe2　のなす角になるのかを考えましょう。
ベクトルe1－ベクトルe2　はベクトルe1 + (－ベクトルe2)　と考えると、
２つの単位ベクトルの和として考えられ、これは、菱形の対角線を表すベクトルになるので、
なす角を２等分する方向をもつことがポイントでしょうか。　
「２つの単位ベクトルの和は、２つのベクトルのなす角を２等分する方向を表すベクトル」というのは、
角の等分線の方向を求める基礎的なテクニックですので、大丈夫ですね？
たとえば、２つのベクトル、ベクトルa , ベクトルb のなす角を２等分する方向を表すベクトルは
(ベクトルa /｜ベクトルa｜)　+ (ベクトルb /｜ベクトルb｜) 　となります。

720 名前：元塾講師：2010/07/18 11:58

途中で書き込みできなくなったので、続きは後日で。

721  名前：投稿者により削除されました

722 名前：元塾講師：2010/07/31 17:08

解説：(3)
さてT=1000/√3 とは当然、１辺1000の正三角形の重心と頂点までの距離のことで、
OA2 = 1000/√3 であるし、P2(T) も点A2 から出発して、同じ距離離れたところにいる。
（２）よりαは　sinα=1/1000　を満たすくらいなので結構小さい角であることを考えると、２等辺三角形OA2 P2(T)　はかなりつぶれた３角形であり（θ2 = π/6　のときは
完全につぶれて三角形にならないし、P2(T)=A2 である）、底辺の長さであるd(P2(T),O)
はかなり小さい（もしくは０）。その最大は頂角∠OA2 P2(T)　が最大になる5αのときであろうが、その時の底辺の長さを、αで表し　3以下であることを示す。

723 名前：元塾講師：2010/07/31 17:27

解答がどうしても書きこめないので（数式が多いためか？）、解説の前半の書きこみました。
結局解答（３）と解説の後半は書き込めませんでした。
このような掲示板ではやはり、いろいろ制約もおおく、また今までの部分で修正したいところも
後で修正できない欠点もありますので、再度編集して下記のブログに整理していこうと
思います。
更新はゆっくりと行いますが、ここに取り上げた全問題にさらに良問がみつかったら
合わせて解説していきたいと思います。一次変換も最近は復活しているようであり、
非常に面白い分野ですので、これについてもとりあげていきたいと思っています。

難関数学攻略に必要な視点、技術を網羅した、
東大、京大受験生必読のブログにしていきたいと思っています。
ぜひ、勉強に役立ててください。↓

http://ameblo.jp/suugakukyousitu/

724  名前：投稿者により削除されました

725 名前：名無しさん：2010/11/15 13:02

久しぶりにスレを開いたら再び降臨なさっているではないか！！！
復活祝いage
ブログ更新頑張ってください！！応援してます！

726  名前：投稿者により削除されました

727 名前：実験：2012/01/02 09:18

ワードの数式を使って、綺麗なテキストに出来るか実験してみます。

728 名前：実験：2012/01/02 09:19

数式の扱いについて
問１：すべての正の実数x , y に対し √(x ) + √(y ) ≦　k√(2x+y)
が成り立つような実数 k の最小値を求めよ。　　（1995東大）

729 名前：実験：2012/01/02 09:30

解説その２：(1)よりは単純な置き換えですが、数式をわかりやすいところまで整理できています。
ただ、置き換えをして新しい変数で考えるときには、必ず新変数と置き換えの前の変数との対応関係
を考えた上で、新しい変数の変域には注意しましょう。

730 名前：実験：2012/01/02 09:31

解説その３：本解答のポイントは1次式/2次式であれ２次式/１次式であれ
必ず相加平均≧ 相乗平均を使える形に持っていけることにある。
つまり積＝一定の形である。相加平均≧ 相乗平均を使いこなせているでしょうか？

731 名前：実験：2012/01/02 09:32

問２
実数a , b（0≦a＜ π/4 　、0≦b＜π/4）に対し、次の不等式の成り立つことを示せ。
√(tan⁡ a) √(tan⁡ b)≦ tan (a+b)/2 ≦ tan⁡〖a+tan⁡〖b 〗 〗/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (１９９１京大)

732 名前：実験：2012/01/02 09:33

解答その１：
0≦b≦a＜π/4として一般性を失わない。
ここで (a+b)/2 = θ , (a-b)/2 = φ 、更にtanθ=x tanφ=y とおくと、
tan a　=　tan (θ+φ) = (x+y )/(1-xy)
tan b = tan (θ - φ) = (x-y )/(1+xy)
ここでa,b の仮定条件より 0＜φ≦θ＜π/4 。これより0＜y ≦ x＜1
なので、
(最右辺)-(中辺) = (x+y )/(2(1-xy)) + (x-y )/(2(1+xy)) - x = (xy^2 (1+ x^2))/(1- 〖x^2 y〗^2 ) ＞0
〖(中辺)〗^2-〖(最左辺)〗^2= x^2- ((x+y)(x-y) )/((1-xy)(1+xy)) = (y^2 (1- x^4))/(1- 〖x^2 y〗^2 ) ＞　0
中辺＞０、最左辺＞０なので題意の不等式の成立が証明された。
（Q.E.D）

733 名前：実験失敗です：2012/01/02 09:43

ワードではきれいに分数、累乗も作りましたが、やはりきれいな形のままでは
投稿できませんでした。
残念です。（当り前か）

734 名前：名無しさん：2012/01/29 11:40

つか、間違いを公然と載せるなよ、おまえ知能低いのか

735 名前：名無しさん：2015/11/02 09:57

あげ

736 名前：名無しさん：2019/02/10 10:43

初っ端からすごい解き方してる

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