NO.10389523

0 名前：名無しさん：2004/03/03 10:21

bennkyou suruyo?

1 名前：本気なら名無しさん：2004/03/05 11:00

suru?

2 名前：本気なら名無しさん：2004/03/05 11:50

siyokka?

3 名前：本気なら名無しさん：2004/03/05 11:51

ttekayaranaika?

4 名前：名無しさん：2007/10/01 06:25

ganbarouka?

5 名前：名無しさん：2007/10/01 06:35

age masune^^

6 名前：名無しさん：2007/10/01 06:41

iya-nn ya・me・te

7 名前：名無しさん：2007/10/01 06:50

agetokuyo

8 名前：名無しさん：2007/10/01 07:30

age?sage??

9 名前：名無しさん：2007/10/01 07:42

hakkiriittoke--

10 名前：名無しさん：2007/10/01 23:31

agatte-ru

11 名前：名無しさん：2007/10/01 23:41

§1-1

1500=2^2・3^1・5^3
(1)(1+2+2^2)(1+3)(1+5+5^2+5^3)=7・4・156=4368(答え)
(2)21=3・7 より、2^2・5^3を考えて、(1+2)(1+3)=3・4=12コ(答え)
(3)1500=2^2・3^1・5^3を考えて、(1+2)(1+1)(1+3)=3・2・4=24コ約数がある。
1・1500=1500、2・750=1500、・・・であるから、1500^12(答え)

12 名前：名無しさん：2007/10/01 23:46

§1-2

約数の個数が奇数コの場合はその数は「平方数」である。
約数の個数が偶数コの場合はその数は「平方数」ではない。
(1)1^2, 2^2,・・・,10^2の10コは平方数であり、その他は平方数ではない。
　　100-10=90コ(答え)
(2)6=1・6＝2・3 より、(a) m^5 (b) m^1・n^2 のどちらかのタイプになる。
　　素因数を3コ以上持つ事は無い。
　(a)(b)の最小値はそれぞれ、2^5=32, 3^1・2^2=12であるから、(答え)12

13 名前：名無しさん：2007/10/01 23:53

§1-3

約数の個数と同じ回数だけ、裏返される。表向きになっているためには約数の個数が
偶数個でなければならない。すなわち平方数ではない数は表向きになっている。

1^2, 2^2,・・・,14^2の14個は平方数であり、その他は平方数ではない。
　　200-14=186個(答え)

14 名前：名無しさん：2007/10/02 00:00

§1-4

ある整数nの約数を小さい順に、a1, a2, ・・・, a(p-1), ap とする。
すると、a1・ap=n, a2・a(p-1)=n,・・・となる。[1]

[2] a1+a2+・・・+a(p-1)+ap=168
[3] 1/a1 + 1/a2 + ・・・+ 1/a(p-1) + 1/ap =2.8

[3]の両辺にnをかけると
　　n/a1 + n/a2 + ・・・+ n/a(p-1) + n/ap =2.8n
[1]により、
⇔　ap + a(p-1) +・・・+a2+a1=2.8n [4]

[2][4]より、2.8n=168　∴n=60(答え)

15 名前：名無しさん：2007/10/02 00:18

§1-研究問題

90=2^1・3^2・5^1より、約数の個数は、(1+1)(1+2)(1+1)=2・3・2=12個ある。
[1] 90=1・90=2・45=3・30=5・18=6・15=9・10

(1) 90を、連続する奇数個の整数（負の数も含む）の和で表す方法の数を考える。
　　[1]より、中央の数は、90, 2, 30, 18, 6, 10となり、それぞれ、
　　90, (-20)+(-19)+・・・+2+・・・+23+24, 29+30+31, 16+17+18+19+20,
　　(-1)+0+1+・・・+6+・・・12+13, 6+7+8+9+10+11+12+13+14
　　ここで負の数を含むものは、
　　(-20)+(-19)+・・・+2+・・・+23+24＝21+22+23+24,
　　(-1)+0+1+・・・+6+・・・12+13＝2+3+・・・+12+13 となる。
　　これらは連続する自然数の和であり、項の数は偶数個である。

　　ここで、「項の数が偶数個である自然数の組[p]」があったとすると、
　　上記の逆をたどる事によって、すなわち、
　　(-a)+(-a+1)+・・・+0+・・・+(a-1)+a を付け加える事によって
　　「項の数が奇数個である整数の組[q]」に置き換わるので、
　　pとqは1対1に対応する。従って全部で、6通り(答え)
(2)「項の数が奇数個である整数の組[q]」の個数を求める事になるので、
　　N=2^a・3^b・5^cの時、3^b・5^cを考えて、(b+1)(c+1)通り(答え)
(2)(別解)N=n+(n+1)+・・・+(m-1)+m (m, nは自然数)と置けたとすると、
　　N=(m+n)(m-n+1)/2 = 2^a・3^b・5^c　より、
　　(m+n)(m-n+1) = 2^(a+1)・3^b・5^c
　　ここで、(m+n)と(m-n+1)は常に偶奇が異なり、常に(m+n)＞(m-n+1)となる。[r]
　　今、A、Bの2つの組を作り、
　　どちらでもよいが便宜上、Aに2^(a+1)を全部入れた状態から、
　　3^b・5^cをA、Bに割り振っていくと、
　　b個の3のうち、何個をAに入れればよいかで、0個～b個の(b+1)通り、
　　c個の5のうち、何個をAに入れればよいかで、0個～c個の(c+1)通りあるから、
　　∴(b+1)(c+1)通りある。
　　Aは偶数、Bは奇数であるので、「中央の数はA、項数は組」となる。
　　また、これらは偶奇が異なるので同じ数になる事はない。
　　従って、[r]を満たすので、m, n は1つに定まる。

16 名前：名無しさん：2007/10/03 00:17

>16の訂正（下から４行目以降）

　　(b+1)(c+1)通りある。これらは偶奇が異なるので同じ数になる事はない。
　　従って、[r]を満たすので、m, n は1つに定まる。

　　(m+n)(m-n+1) = A・B
　∴m=(A+B-1)/2, n=(A-B+1)/2

17 名前：名無しさん：2007/10/03 00:28

§2-1

既約分数を小数にする時、分母を素因数分解すると、
(1)分母に2, 5 以外の素因数が存在すると、循環小数になる。
(2)分母が、2^p・5^q の形になったとすると、
　　p＞qの時、小数第p位までの小数になる。
　　p＜qの時、小数第q位までの小数になる。
　　p＝qの時、小数第p（またはq）位までの小数になる。
3/x が既約分数になった時、ちょうど小数第3位になるのは、分母が、
2^3, 2^3・5, 2^3・5^2, 2^3・5^3, 5^3, 5^3・2, 5^3・2^2 の時である。
従って、x= 2^3, 2^3・5, 2^3・5^2, 2^3・5^3, 5^3, 5^3・2, 5^3・2^2,
3・2^3, 3・2^3・5, 3・2^3・5^2, 3・2^3・5^3, 3・5^3, 3・5^3・2, 3・5^3・2^2
の14通りである。(答え)

18 名前：名無しさん：2007/10/03 00:55

§2-2

(1)384-12m=2^2・3(32-m) であるから、32-m=3k^2 (kは自然数)となればよい。
　　3k^2=3, 12, 27, 48, ・・・より、m=29, 20, 5(答え)
(2)7n＜42^2 より、n＜7・6^2であり、n=7k^2 (kは自然数)となるので、
　　n=7・1^2, 7・2^2, 7・3^2, 7・4^2, 7・5^2 である。これらを全て加えると、
　　7(1+4+9+16+25)=7・55=385(答え)

19 名前：名無しさん：2007/10/03 01:05

§2-3

24=2^3・3, 90=2・3^2・5 であるから、
c^2 は素因数として、2^3, 3^2, 5 を持たなければならない。
すなわち、c は素因数として、2^2, 3, 5 を持たなければならない。
従って最小のc はc=2^2・3・5=60(答え)

20 名前：名無しさん：2007/10/03 01:31

§2-4

1250=2*5^4 より、n は素因数として、2, 5^2 を持たなければならない。
45=3^2*5 より、n は素因数として、3, 5 を持たなければならない。
768=2^8*3 より、n は素因数として、2^2, 3 を持たなければならない。
従って、n は素因数として、2^2, 3, 5^2 を持たなければならない。
最小のnはn=2^2*3*5^2=300(答え)

21 名前：名無しさん：2007/10/03 01:59

§2-5

(1)100÷2＝50, 100÷4＝25, 100÷8＝12・・・4, 100÷16＝6・・・4
100÷32＝3・・・4, 100÷64＝1・・・36
∴50+25+12+6+3+1=97回(答え)
(2)100÷5＝20, 100÷25＝4 より、20+4=24回 ∴24個（答え）

22 名前：名無しさん：2007/10/05 21:57

§2-研究問題

≡はmod8 で考えることにして、mod8を省略する。
(1)m=2k+1(kは0以上の整数)とおけて、
　　3^(2k+1)-1=3*3^2k-1=3*9^k-1≡3*1^k-1=3-1=2
　　従って、8で割ると2余るから、8p+2とおけて、8p+2=2(4p+1)より、
　　2の指数は1(答え)
(2)m=2k+1(kは0以上の整数)とおけて、
　　3^(2k+1)+1=3*3^2k+1=3*9^k+1≡3*1^k+1=3+1=4
　　従って、8で割ると4余るから、8p+4とおけて、8p+4=2^2(2p+1)より、
　　2の指数は2(答え)
(3)mが偶数の時、3^m+1を素因数分解した時の2の指数を求める。
　　m=2k(kは1以上の整数)とおけて、3^(2k)+1=9^k+1≡1^k+1=1+1=2
　　従って、8で割ると2余るから、8p+2とおけて、8p+2=2(4p+1)より、
　　2の指数は1・・・(※)
3^240-1
=(3^120+1)(3^120-1)
=(3^120+1)(3^60+1)(3^60-1)
=(3^120+1)(3^60+1)(3^30+1)(3^30-1)
=(3^120+1)(3^60+1)(3^30+1)(3^15+1))(3^15-1)
(1)(2)(※)より、それぞれ、2を、1個, 1個, 1個, 2個, 1個持つから、
全部で、6(答え)

23 名前：名無しさん：2007/10/05 22:12

§3-1

(a,b)で最大公約数を、[a,b]で最小公倍数を表すことにする。
(1)n/m, (m, n)=1 とおくと、
(175/24)*(n/m)∈N かつ、(n/m)/(33/140)=(n/m)*(140/33)∈N
であるから、m=(175, 140)=35, n=[24, 33]=3*8*11=264 (答え)264/35

(2)[12, 8, 18]=[2^2*3, 2^3, 2*3^2]=2^3*3^2=72より、
一辺が72cmの単位立方体を使って大立方体を作る。
単位立方体に必要な積み木の数は、6*9*4=216個であるから、
216n^3≦10000 ⇔ n≦3　∴72*3=216cm (答え)

24 名前：名無しさん：2007/10/05 22:30

§3-2

[21, 60]=3[7, 20]=420 である。420/21=20, 420/60=7 より、
42cm×60cmを横に7個並べると、頂点に達する。辺で反射する回数は、
19+6=25回（答え）

25 名前：名無しさん：2007/10/05 23:05

§3-3

(1)a=6c, b=6d, (c, d)=1, c＜d とおくと、
216=6cd より、cd=36=1*36=2*18=3*12=4*9=6*6 であるから、
(c, d)=(1, 36), (4, 9) すなわち、(a, b)=(6, 216), (24, 54) の2組（答え）

(2)a=12d, b=12e, c=12f, (d, e, f)=1, d＜e＜f とおくと、[d, e, f]=18 となる。
18=1*18=2*9=3*6 より、18の約数は、1, 2, 3, 6, 9, 18 であるから、
(d, e, f)=(1, 2, 18), (1, 3, 18), (1, 6, 18), (1, 9, 18),
(2, 3, 18), (2, 9, 18), (1, 2, 9), (1, 6, 9), (2, 3,9), (2, 6, 9)
すなわち、(a, b, c)=(12, 24, 216), (12, 36, 216), (12, 72, 216), (12, 108, 216),
(24, 36, 216), (24, 108, 216), (12, 24, 108), (12, 72, 108),
(24, 36, 108), (24, 72, 108) の10組（答え）

>24 §3-1 追加　（最下行の先頭に）nを自然数とすると、

26 名前：名無しさん：2007/10/05 23:41

§3-4

(1)A=24a, B=24b, (a, b)=1, a＜b とおくと、
　　a+b=30 となるから、(a, b)=(1, 29), (7, 23), (11, 19), (13, 17)
　∴(A, B)=(24, 696), (168, 552), (264, 456), (312, 408)（答え）
(2)AB=GL より、216G=3888 ∴G=18
　　A=18a, B=18b, (a, b)=1 とおくと、L=Gab より、18ab=216 ∴ab=12
　　ab=1*12=2*6*3*4 であるから、(a, b)=(1, 12), (3, 4), (4, 3), (12, 1)
　　従って、(A, B)=(18, 216),(54, 72),(72, 54), (216, 18)（答え）

27 名前：名無しさん：2007/10/05 23:55

§3-研究問題

a=gc, b=gd, (c, d)=1, c＞d とおくと、l=gcd が成り立つので、
(gc)^2+(gd)^2+g^2+(gcd)^2=1300 ⇔ g^2(c^2+1)(d^2+1)=1300
ここで、1300=2^2*5^2*13 であるから、約数は全部で3*3*2=18個あり、それは、
1*1300,2*650,4*325,5*260,10*130,13*100,20*65,25*52,26*50 である。
これらの中で、[自然数の平方+1] の形をしているものは、
2,5,10,26,50,65,325 の7個である。

1300はg^2の形の素因数を持つので、g=1,2,5,10 の場合がある。

(1)g＞1の時、
g=2の時、(c^2+1)(d^2+1)=325=5^2*13=1*325=5*65=13*25より、(c,d)=(8,2)
これは(c,d)=1に反するので不適。
g=5の時、(c^2+1)(d^2+1)=52=2^2*13=1*52=2*26=4*13より、(c, d)=(5,1)
g=10の時、(c^2+1)(d^2+1)=13=1*13より、存在しない。
（答え）(a,b)=(25,5)

(2)g=1の時、(c^2+1)(d^2+1)=26*50 となるしかない。∴(c,d)=(7,5)
（答え）(a,b)=(7,5)

28 名前：名無しさん：2007/10/05 23:55

§3補足

(1) (A,[B,C])=[(A,B),(A,C)]
(2) [A,(B,C)]=([A,B],[A,C])
(3) (A,B)[A,B]=AB

集合で考える。Aだけに含まれる因数、Bだけに含まれる因数、Cだけに含まれる因数、
ABだけに含まれる因数、BCだけに含まれる因数、CAだけに含まれる因数、
ABC全てに含まれる因数をそれぞれ、1,2,3,4,5,6,7 とする。

(1)左辺＝(1467,[2457,3567])=(1467,57[24,36])=(1467,572436)=467
　右辺＝[(1467,2457),(1467,3567)]=[47,67]=7[4,6]=746=467
(2)左辺＝[1467,(2457,3567)]=[1467,57]=7[146,5]=71465=14567
　右辺＝([1467,2457],[1467,3567])=(47[16,25],67[14,35])
　　　 ＝(471625,671435)=47165=14567
(3)左辺＝(1467,2457)[1467,2457]=47*47[16,25]=47471625=1467*2457=右辺