NO.10453447

0 名前：(>_：2005/07/29 04:40

MHBの3-2解答解説編の〔?〕(２)の問題についての質問です。
解答に「X+Y+Z」は、定数のとき最小値をとる…みたいなふうに書いてあるんですが根拠がわかりません。
「X+Y+Z」を定数にするために「Y＝－(3a-2b-4)」としてあるんですが、「Y＝3a-2b-4」としたら
「X+Y+Z=6a-4b+1」となるんですが「a」と「b」の値次第では「6a-4b+1≦9」という可能性も考えられる
とおもいます。勿論「X=Y=Z」の計算で成り立たないのは明らかのんですが、「X=－(2a-b-1)」とする
こともできるので合計で８パターンの「X+Y+Z＆X=Y=Z」の計算をしてからじゃないと最小値をだしてはいけない
と思います。

もし「X+Y+Z」が定数であると最小になることに根拠があるなら教えてください。(..)

1 名前：匿名さん：2005/07/29 05:52

問題教えたら解決してやる。

2 名前：(>_：2005/07/29 06:20

“【(X+Y+Z)二乗≦３(X二乗+Y二乗+Z二乗)　等号成立はX=Y=Zのとき】
が成り立ち、かつａとｂを実数とするとき、
【Ｐ＝(2a-b＋1)二乗＋(3a-2b-4)二乗＋(a-b+4)二乗】
の最小値とその時のａ、ｂの値をもとめよ。”

以上が問題です。

>>0に間違いがありました。
「X=－(2a-b-1)」×　→「X=－(2a-b+1)」○

何か不明な点があったら言ってください。
よろしくお願いします(>_<)

3 名前：匿名さん：2005/07/30 06:09

問題はこれで全部？

4 名前：4：2005/07/30 06:24

例えば　P　は整数であるとか

5 名前：(>_：2005/07/30 07:59

X、Y、Zが実数とも書いてありました。
これ以上は何も書いてないです(>_<)
Ｐに関することは何も書いてないんですが、｢ａ｣と「ｂ」が実数なので
Ｐは実数という条件が隠れているだけです(>_<)

ちなみに、(１)は【(X+Y+Z)二乗≦３(X二乗+Y二乗+Z二乗)　等号成立はX=Y=Zのとき】の証明でした。

6 名前：4、5：2005/07/31 05:23

まぁ、X・Y・Zの組み合わせは4つだけ調べればいいから、1個1個やっていけば答通りになるな

7 名前：(>_：2005/07/31 06:54

組み合わせは８通りだと思うんですが…(>_<)
>>0に書き忘れたんですけど「Z=－(a-b+4)」ってのも考えられます(´□｀〇)

8 名前：匿名さん：2005/07/31 07:03

x=-(2a-b+1) 、Y=-(3a-2b-4) としてあるのだよね?

Zに指定は無いの？

9 名前：匿名さん：2005/07/31 09:04

組み合わせ8通りは試す必要がないよ
それは最小値という定義からわかる。

「f(x)の最小値がm(mはxによらない定数)」
⇔
「f(x)≧m が定義内のすべてのxで成り立つ　かつ　f(x)=mとなるxが存在」
ってことだからx+y+z=9のとき
P=(x^2)+(y^2)+(z^2)≧{(x+y+z)^2}/3=27となって
等号条件に不適がなければ必ず最小値と言い切れる

上限が定数で等号が成り立てば最大値　下限が定数で不適がなければ最小値
これは定義。

ちなみにX=(2a-b+1) 、Y=-(3a-2b-4) Z=(a-b+4)のときに限り最小値を取るわけじゃないよ
これはたまたまうまくX.Y.Zを取ったら下限が定数になって
等号条件に矛盾が無かったというだけで他の8通りの組み合わせでも
最小値は求まるからね。

10 名前：(*^∀^*)：2005/07/31 10:51

>>8
X、Y、Zは実数という条件しかないのでX=(2a-b+1) 、Y=(3a-2b-4) Z=(a-b+4)とした場合
Ｐで全部二乗されてるのでX、Y、Zのどれに－をかけてもＰの値は変わらないということです(>_<)
解答にはX=(2a-b+1) 、Y=-(3a-2b-4) Z=(a-b+4)としてあったんです。説明不足ですみません(>_<)
>>9
バッチリ解決しました！(・∀・)Ｖ
最小値のX+Y+Zが定数となるとき、ａ、ｂの値に関係なく最小だからそれが絶対的に最小といえるってことですよね！
だからX、Y、Zのそれぞれの符号をどう変えてもX+Y+Zが定数にならない場合だったら
８通り計算しなきゃいけないってことですよね！

皆さんどうもありがとうございました！
とても助かりました！

11 名前：匿名さん：2005/07/31 12:33

＞ａ、ｂの値に関係なく最小だからそれが絶対的に最小

いや違う。a.bの値はちゃんとでてくるもん。関係はあるよ。
X、Y、Zは適当に置き換えただけで、
たまたまX+Y+Z=(定数)となるようにX.Y.Zを取ってみると
等号が成立するから簡単に最小値とわかるなぁという解法なだけのこと。

例えばX=(2a-b+1) 、Y=(3a-2b-4) Z=(a-b+4)としてX+Y+Z=6a-4b+1で考えると
「X+Y+Z=6a-4b+1=2Y+9」⇔Y=X+Z-9
よりP=(X^2)+{(X+Z-9)^2}+(Z^2)
これを展開してxについて整理した後平方完成をして
P=2[{X+(Z-9)/2}^2]+2(Z^2)-18Z+81-{(Z-9)^2}/2
よってPの最小値の候補は2(Z^2)-18Z+81-{(Z-9)^2}/2
これをさらにzについて平方完成してmin出しても同じ結果がえられる
(計算間違っていたらすまん)

12 名前：匿名さん：2005/07/31 12:38

＞X、Y、Zのそれぞれの符号をどう変えてもX+Y+Zが定数にならない場合だったら
＞８通り計算しなきゃいけないってことですよね！

うぅん。8通りもいらない。
兎に角一つの式の部分を同値性を崩さずにX.Y.Zと適当に置き換えただけなんだから
出てくる最小値は全部一緒よ。

つまり
P＝{(2a-b＋1)^2}＋{(3a-2b-4)^2}＋{(a-b+4)^2}
＝{(-2a+b-1)^2}＋{(3a-2b-4)^2}＋{(a-b+4)^2}
＝{(2a-b＋1)^2}＋{(-3a+2b+4)^2}＋{(a-b+4)^2}
＝{(2a-b＋1)^2}＋{(3a-2b-4)^2}＋{(-a+b-4)^2}
＝{(-2a+b-1)^2}＋{(-3a+2b+4)^2}＋{(a-b+4)^2}
＝{(-2a+b-1)^2}＋{(3a-2b-4)^2}＋{(-a+b-4)^2}
＝{(2a-b＋1)^2}＋{(-3a+2b+4)^2}＋{(-a+b-4)^2}
＝{(-2a+b-1)^2}＋{(-3a+2b+4)^2}＋{(-a+b-4)^2}

これ全部同じ式でどれが一番最小値を見つけやすいかな
というだけ。

13 名前：4、5、7：2005/07/31 13:06

>>11の言う通りだ。
PはPとして存在し、一定の最小値を持つんだから、やり方があってればX、Y、Zがどうあっても一緒なんだよね。

あと、二乗してんだから、8÷2の4通りでいい。

14 名前：?(’艸’*)：2005/07/31 14:39

そうだった…Ｐは全部二乗なんだからどのパターンでも答えを出せるのは当然…完全に暴走してました(>_<)
だから解答のは一番計算しやすい形だってのも理解しました。
４通りでいいってのも理解できました。
でもそうすると新たな疑問が…
【(X+Y+Z)二乗≦３(X二乗+Y二乗+Z二乗)　等号成立はX=Y=Zのとき】この条件を使うには
X=Y=Zという条件を満たす必要があって、するとX=Y、X=Z、Y=Z、を満たすａ、ｂを求めるんですが、
『X=(2a-b+1) 、Y=-(3a-2b-4) 、Z=(a-b+4)』のときと『X=(2a-b+1) 、Y=(3a-2b-4)、 Z=(a-b+4)』のとき
ではｂの値が異なってしまうんですが、これはなぜですか？？

たぶん頭が暴走してるだけだと思いますがよろしくお願いします！(>_<)　

15 名前：もとかず：2005/07/31 15:08

X=(2a-b+1) 、Y=-(3a-2b-4) 、Z=(a-b+4)のときは
与不等式　3{(x^2)+(y^2)+(z^2)}≧{(x+y+z)^2}････(1)
を使って
下からPを評価して下限を定数で抑えたわけですから(1)の等号条件
X=Y=Zを使うのですが

X=(2a-b+1) 、Y=(3a-2b-4)、 Z=(a-b+4)のときには
(1)の不等式は使わないのですよ。
単純にX+Y+Z=2Y-9という等式関係からYを消して予選決勝法ですから
X=Y=Zの等号関係は成り立たなくても良くて
単純に平方完成したときの軸の値がX.Y.Zの値でそこからa.bが出てくるので
結果的に同じa=3 b=4 が出てくると思いますよ。

>>11さんの方法真似て一度手を動かしてやってみてください

16 名前：4、5、7、14：2005/07/31 16:09

X=Y=Zで考えるときは4つに場合分けしてaとbの値がまず出て、それからPの値にもっていけばいいから、結局はa=3、b=4のときが最小値になるんよ

17 名前：(*・∀・*)：2005/08/01 00:08

今度こそバッチリ理解しました！！(・∀・)ｖ
つまり…
3{(x^2)+(y^2)+(z^2)}≧{(x+y+z)^2}の不等式を使う場合は{(x+y+z)^2}を定数にできるなら
>>9さんやほかの人たちが言ってる理屈でそれが下限となるから、後はX=Y=Zという条件を入れるだけで
良くて、そうすると明らかに計算が速いし確実に最小だから解答ではそうしてるってことですね！
そして(x+y+z)が定数にならない場合でも皆さんが言うように文字を一つ消去してＰの式で平方完成すれば最小値もａ、ｂも求まるってことですね！
もし定数にならない場合の問題ならさっきみたいにＰの式を平方完成をして値を出すか、
>>16さんのいう見方もできるからX=Y=Zを満たす４通りのａ、ｂの組み合わせで{(x^2)+(y^2)+(z^2)｝or{(x+y+z)^2}を
最小にできるものを探せば良いってことですね！(・∀・)
もう完全に頭のなかがゴチャゴチャになってました(>_<)
今ようやく過去レス全てが頭の中できれいに消化できました！
一度暴走しだすと迷宮入りしそうになるぐらいわからなくなってしまうんですが、皆さんのおかげで助かりました！
ありがとうございましたm(__)m