NO.10387092

0 名前：かのん：2012/07/05 12:41

関数f(x)=A(e^x)cosx+B(e^x)sinx(ただしA,Bは定数)について、次の問いに答えよ。
(1)f'(x)を求めよ。
(2)f"(x)をf(x)およびf'(x)を用いて表せ。
(3)∫f(x)dxを求めよ。

(1)はできたのですが、(2)と(3)がよくわかりません。

(2)はf"(x)=2f'(x)－2f(x)、(3)は(1/2)(A－B)(e^x)cosx＋(1/2)(A＋B)(e^x)sinx＋C
らしいのですが、途中の過程をどなたか説明していただけないでしょうか。

1 名前：人形だから：2012/07/05 22:36

(1)
f'(x)=A(e^x)(cos(x)-sin(x))+B(e^x)(sin(x)+cos(x))
(2)
f''(x)
=A(e^x)(-2sin(x))+B(e^x)(2cos(x))
=A(e^x)(-2cos(x)+2cos(x)-2sin(x))+B(e^x)(-2sin(x)+2sin(x)+2cos(x))
=-2(A(e^x)cos(x)+B(e^x)sin(x))+2(A(e^x)(cos(x)-sin(x))+B(e^x)(sin(x)+cos(x))
=-2f(x)+2f'(x)

2 名前：人形だから：2012/07/05 22:38

)抜けてた

f''(x)
=A(e^x)(-2sin(x))+B(e^x)(2cos(x))
=A(e^x)(-2cos(x)+2cos(x)-2sin(x))+B(e^x)(-2sin(x)+2sin(x)+2cos(x))
=-2(A(e^x)cos(x)+B(e^x)sin(x))+2(A(e^x)(cos(x)-sin(x))+B(e^x)(sin(x)+cos(x)))
=-2f(x)+2f'(x)

3 名前：人形だから：2012/07/05 22:40

(3)∫f(x)dx = ∫f'(x)-(1/2)f''(x)dx = f(x)-(1/2)f'+C

4 名前：かのん：2012/07/06 09:39

ありがとうございます。